振动力学-单自由度振动系统.ppt

《振动力学-单自由度振动系统.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第二章单自由度系统§2.1引言§2.2无阻尼自由振动§2.3阻尼自由振动§2.4单自由度系统的简谐强迫振动§2.5简谐强迫振动理论的应用§2.6周期强迫振动§2.7非周期强迫振动§2.1引言只有一个自由度的振动系统，称为单自由度振动系统，简称单自由度系统。单自由度振动系统的意义：实际问题的近似模型振动理论的基础重点解决的问题：单自由度系统模型建立与求解激励模型及处理几种单自由度系统的示例§2.2无阻尼自由振动2.2.1运动微分方程2.2.2求固有频率的方法2.2.3有效质量特点：振动中无能量损失；振动中不受外界影响，完全取决于系统性质和初始时刻存储的能量§2.2无阻尼自由振动2.

2、2.1运动微分方程列微分方程的步骤：1确定坐标系，确定原点，确定坐标正向2惯性元件沿坐标正向有一个位移考察惯性元件的受力情况画隔离体图3根据牛顿第二定律列出运动微分方程4确定系统的初始运动状态，即确定运动微分方程的初始条件。图形2.2.1运动微分方程1DOFS无阻尼自由振动运动微分方程微分方程首1形式第一个也是最重要的振动参数固有频率方程特点：以振动系统位移为未知数的运动微分方程。常系数：系统参数为常数线性：本构关系为线性齐次：自由振动二阶：牛顿第二定律常微分方程：离散振动系统二阶常系数齐次线性常微分方程物理性质决定了方程性质2.2.1运动微分方程§2.2.1运动微分方程方程通解

3、待定常数与初始条件的关系2.2.1运动微分方程初相位2.2.1运动微分方程1DOFS的无阻尼自由振动为简谐振动振动频率n只与系统的刚度k、质量m有关固有(圆)频率周期固有频率总结2.2.1运动微分方程固有频率随系统刚度的增大而增大随系统质量的增大而减少总结振动幅值、初相位取决于初始条件和系统参数位移的中点是系统的静平衡位置2.2.1运动微分方程如果系统的初速度叠加原理如果系统初位移系统响应为系统响应为如果系统初位移，初速均不为零，系统响应为例：悬挂在弹簧上的物体的垂直振动原点：系统的平衡位置方向：坐标正向向下静变形：=mg/k变形分析：动位移为x时，弹簧的伸长量为+x例：悬

4、挂在弹簧上的物体的垂直振动隔离体图系统的微分方程结论：坐标原点取在静平衡位置时，列系统的运动微分方程可不计静载荷。2.2.2求固有频率的方法列运动微分方程静态位移法能量法2.2.2求固有频率的方法静态位移法k=mg适用条件：单自由度系统且弹性元件无质量。多自由度系统及弹性元件有质量时有误差。2.2.2求固有频率的方法由于无阻尼，系统机械能守恒无阻尼自由振动中的能量关系2.2.2求固有频率的方法能量关系二次型2.2.2求固有频率的方法无阻尼自由振动中的能量关系动能为零时，势能达到最大。势能为零时，动能达到最大。总机械能取决于初始条件和系统参数。势能的极小点是系统的静平衡位置系统在

5、静平衡位置附近振动2.2.2求固有频率的方法势能参考点选取参考点不同，势能的表达项式不同一般形式导数为零时，为静平衡位置二次多项式2.2.2求固有频率的方法势能令取二次型2.2.2求固有频率的方法能量法1得到微分方程，进而求得固有频率写出动能、势能求导2.2.2求固有频率的方法能量法2写出动能、势能将动能、势能分别表达成如下形式例系统如图，杆和弹簧的质量不计，在静平衡时水平，求其系统的微分方程和固有频率（提示：取静平衡位置为坐标原点，可不考虑重力势能，当偏角很小时，弹簧的伸长，圆球的位移可以表示为：a，l)2.2.3有效质量在前面的讨论中，都假定了弹性元件的质量远远小于振动系

6、统的集中质量，因而忽略弹性元件的质量。这相当于忽略系统的一部分动能，引起一定误差。如果考虑弹性元件的质量，如何估计这部分质量的动能呢？2.2.3有效质量如右图，弹簧在静平衡位置长度为l，单位长度的质量为，求系统的固有频率。取坐标系Oy描述弹簧上各点的位移，原点在固定点。弹簧总质量m’=l。2.2.3有效质量近似计算：规定弹簧上各点的速度(速度分布)弹簧动能计算是困难的。因为在振动过程中，弹簧上不同点的速度不同。弹簧上坐标为y的点的速度为(y/l)x依据：满足边界条件，y=0固定点，y=l系统质量在静载作用下弹簧各点的位移也是线性分布2.2.3有效质量坐标为y，长度为dy的微元

7、的动能为：弹簧总动能为：2.2.3有效质量系统总动能：系统势能：固有频率2.2.3有效质量等效质量为系统总动能对应的质量。称m’/3=l/3为弹簧的有效质量在本例，对系统而言，m’/3称为附加质量。附加质量来源于其他元件具有动能。同样，等效刚度为系统总势能对应的刚度。2.2.3有效质量理论分析指出：最小的固有频率是准确解。取得好结果的措施：理论上讲，可取任何形式的速度分布。不同的速度分布得到不同的固有频率。速度分布满足约束条件。速度分布的函数形式与静载荷下的位移形式相同。准确确