同济大学高等数学Ⅱ期末总复习(2013).ppt

《同济大学高等数学Ⅱ期末总复习(2013).ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、高等数学Ⅱ期末总复习同济大学(1)直线平行于平面.lN.记.1.直线、平面的位置关系（用解析法判断）ns(2)直线在平面内l.N.sn同济大学(3)直线垂直于平面(4)直线与平面的夹角ll...直线、平面的位置关系ssnn同济大学解:取已知平面的法向量则直线的对称式方程为直的直线方程.为所求直线的方向向量.垂例1.求过点(1,－2,4)且与平面同济大学例2.求直线与平面的交点.提示:化直线方程为参数方程代入平面方程得从而确定交点为（1，2，2）.同济大学解为所求夹角．例3设直线:L21121+=-=-zyx，平面:P32=+-zyx，求直线与平面的夹角.同济大学例

2、4.求直线在平面上的投影直线方程.提示：过已知直线的平面束方程从中选择得这是投影平面即使其与已知平面垂直：从而得投影直线方程同济大学在点(0,0)可微.在点(0,0)连续且偏导数存在.续,证:1)因故函数在点(0,0)连续;例1.证明函数所以2.多元函数连续性与偏导数的存在性同理2)同济大学证明：故函数在全平面连续。例2.同济大学解：=0=0。例3求处的一阶偏导数在点)0,0(0002424242ïîïíì=+¹++=yxyxyxyxz同济大学例1.设求全导数解:3.多元复合函数的全导数的计算同济大学例3解同济大学于是可得,同济大学思考题同济大学思考题解答同济大学解：例1.4

3、.（一个）方程所确定的隐函数（求偏导）同济大学解令则例2设04222=-++zzyx，求22xz¶¶.同济大学例3.解：=0=0得驻点：x=1,y=–1代入原式得在点(1,–1,–2)处，在点(1,–1,6)处，..注：几何上也易解。原方程可化为球面..由同济大学例4.设F(x,y)具有连续偏导数,解法1利用偏导数公式.确定的隐函数,则已知方程故同济大学对方程两边求微分:解法2微分法.同济大学5.梯度的概念、计算同济大学结论同济大学在几何上表示一个曲面曲面被平面所截得所得曲线在xoy面上投影如图等高线梯度为等高线上的法向量同济大学类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取

4、得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.梯度的概念可以推广到三元函数同济大学解由梯度计算公式得故例1求函数yxzyxu2332222-+++=在点)2,1,1(处的梯度，并问在哪些点处梯度为零？同济大学设空间曲线的方程(1)式中的三个函数均可导.6.空间曲线的切线方程的计算同济大学考察割线趋近于极限位置——切线的过程上式分母同除以割线的方程为同济大学曲线在M处的切线方程切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.法平面：过M点且与切线垂直的平面.同济大学解切线方程法平面方程同济大学2.空间曲线方程为法平面方程为同济大学解将所给方程的两边对x求导并移项，得同济大学所求切线

5、方程为法平面方程为同济大学设曲面方程为曲线在M处的切向量在曲面上任取一条通过点M的曲线7.空间曲面切平面的计算同济大学令则切平面方程为同济大学法线方程为曲面在M处的法向量即垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.同济大学特殊地：空间曲面方程形为曲面在M处的切平面方程为曲面在M处的法线方程为令同济大学解切平面方程为法线方程为例1求旋转抛物面122-+=yxz在点)4,1,2(处的切平面及法线方程.同济大学解设为曲面上的切点,切平面方程为依题意，切平面方程平行于已知平面，得例2求曲面2132222=++zyx平行于平面064=++zyx的各切平面方程.同济大学因为是曲面上的切点

6、，所求切点为满足方程切平面方程(1)切平面方程(2)同济大学思考题同济大学思考题解答设切点依题意知切向量为切点满足曲面和平面方程同济大学8.利用极坐标系计算二重积分同济大学二重积分化为二次积分的公式（１）区域特征如图同济大学区域特征如图同济大学二重积分化为二次积分的公式（２）区域特征如图同济大学极坐标系下区域的面积二重积分化为二次积分的公式（３）区域特征如图同济大学解同济大学解例2计算dxdyyxD)(22òò+，其D为由圆yyx222=+，yyx422=+及直线yx3-0=，03=-xy所围成的平面闭区域.同济大学解例3计算二重积分òò++pDdxdyyxyx2222)si

7、n(,其中积分区域为}41

8、),{(22£+£=yxyxD.同济大学9.利用球面坐标计算三重积分同济大学规定：如图，三坐标面分别为圆锥面；球面；半平面．同济大学球面坐标与直角坐标的关系为如图，同济大学球面坐标系中的体积元素为如图，同济大学例1计算òòòW+=dxdydzyxI)(22，其中W是锥面222zyx=+，与平面az=)0(>a所围的立体.解采用球面坐标同济大学同济大学解例2求曲面22222azyx£++与22yxz+³所围成的立体体积.同济大学同济大学补充：利用对称性化简三重积分计算使用对称性