第3讲 圆锥曲线中的热点问题.pptx

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1、第3讲 圆锥曲线中的热点问题高考定位1.圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一,主要以解答题形式考查,往往作为试卷的压轴题之一;2.以椭圆或抛物线为背景,尤其是与条件或结论相关存在性开放问题.对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求,并突出数学思想方法考查.真题感悟答案5所以点P2在椭圆C上.(2)证明设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2.如果直线l的斜率不存在,此时l垂直于x轴.设l:x=m,A(m,yA),B(m,-yA),此时l过椭圆C右顶点,与椭圆C不存在两个交点,故不满足.从而可设l:y=kx+m(

2、m≠1).由题设可知Δ=16(4k2-m2+1)>0.由题设k1+k2=-1,故(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0.解得m=-2k-1,此时Δ=32(m+1),∴当且仅当m>-1时,Δ>0,∴直线l的方程为y=kx-2k-1,即y+1=k(x-2).所以l过定点(2,-1).(2)①证明设直线PQ的斜率为k,则其方程为y=kx(k>0).所以C为中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆,不含左、右顶点.4所以PQ⊥PG,即△PQG是直角三角形.得(2+k2)x2-2uk2x+k2u2-8=0.①1.圆锥曲线中的范围、最值问题,可以转化

3、为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值),或者利用式子的几何意义求解.温馨提醒圆锥曲线上点的坐标是有范围的,在涉及求最值或范围问题时注意坐标范围的影响.2.圆锥曲线中定点、定值问题(1)定点问题:在解析几何中,有些含有参数的直线或曲线的方程,不论参数如何变化,其都过某定点,这类问题称为定点问题.考点整合3.圆锥曲线中存在性问题的解题步骤:若得到了直线方程的点斜式:y-y0=k(x-x0),则直线必过定点(x0,y0);若得到了直线方程的斜截式:y=kx+m,则直线必过定点(0,m).(2)定值问题:在解析几何中,有些几何量,如斜率、距离、面

4、积、比值等基本量和动点坐标或动直线中的参变量无关,这类问题统称为定值问题.(1)先假设存在,引入参变量,根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组).(2)解此方程(组)或不等式(组),若有解则存在,若无解则不存在.(3)得出结论.当m=0时,显然不合题意.当m≠0时,∵直线l与圆x2+y2=1相切,探究提高求圆锥曲线中范围、最值的主要方法:(1)几何法:若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质数形结合求解.(2)代数法:若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系,或者不等关系,或者已知参数与新参数之间的等量关

5、系等,则利用代数法求参数的范围.又a2=b2+c2,得2b2=b2+1,∴b2=1,a2=2.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),当直线l不垂直于x轴时,设直线l:y=k(x+1),热点二 圆锥曲线中定值、定点问题角度1圆锥曲线中的定值【例2-1】(2018·北京卷)已知抛物线C:y2=2px经过点P(1,2).过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N.(1)求直线l的斜率的取值范围;(1)解因为抛物线y2=2px过点(1,2),所以2p=4,即p=2.故抛物线C的方程为y2=4

6、x.由题意知,直线l的斜率存在且不为0.设直线l的方程为y=kx+1(k≠0).(2)证明设A(x1,y1),B(x2,y2).依题意Δ=(2k-4)2-4×k2×1>0,解得k<1,又因为k≠0,故k<0或0

7、示要解决的问题,然后证明与参数无关,这类问题选择消元的方向是非常关键的.(1)求椭圆E的方程;(2)经过点(1,1),且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P,Q(均异于点A),证明:直线AP与AQ的斜率之和为定值.得(1+2k2)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0,由已知Δ>0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),x1x2≠0,故kAP+kAQ为定值2.(1)解设点P坐标为(x,y),∴点Q坐标为(0,y).消去y得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-4=0.则Δ>0恒成立.探究提高1.动直线l过定点问题.设动直线方程(斜率存在)

8、为y=kx+t,由题设条件将t用k表示为t=mk,得y=k(x+m),故动直线过定点(-m,0).2.动曲线C过定点问题.引入参变量建立曲线C的方程,

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