专题5 第3讲 圆锥曲线的热点问题.doc

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1、第3讲　圆锥曲线的热点问题(建议用时：60分钟)一、选择题1．(2014·金华模拟)若双曲线－＝1(a>0，b>0)与直线y＝x无交点，则离心率e的取值范围是(　　)．A．(1,2)B．(1,2]C．(1，)D．(1，]解析　因为双曲线的渐近线为y＝±x，要使直线y＝x与双曲线无交点，则直线y＝x应在两渐近线之间，所以有≤，即b≤a，所以b2≤3a2，c2－a2≤3a2，即c2≤4a2，e2≤4，所以1

2、AB

3、＝4，则弦A

4、B的中点到直线x＋＝0的距离等于(　　)．A.B．2C．D．4解析　直线4kx－4y－k＝0，即y＝k，即直线4kx－4y－k＝0过抛物线y2＝x的焦点.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

5、AB

6、＝x1＋x2＋＝4，故x1＋x2＝，则弦AB的中点横坐标是，弦AB的中点到直线x＋＝0的距离是＋＝.答案　C3．已知抛物线y2＝4x，圆F：(x－1)2＋y2＝1，过点F作直线l，自上而下顺次与上述两曲线交于点A，B，C，D(如图所示)，则

7、AB

8、·

9、CD

10、的值正确的是(　　)．A．等于1B．最小值是1

11、C．等于4D．最大值是4解析　设直线l：x＝ty＋1，代入抛物线方程，得y2－4ty－4＝0.设A(x1，y1)，D(x2，y2)，根据抛物线定义

12、AF

13、＝x1＋1，

14、DF

15、＝x2＋1，故

16、AB

17、＝x1，

18、CD

19、＝x2，所以

20、AB

21、·

22、CD

23、＝x1x2＝·＝，而y1y2＝－4，代入上式，得

24、AB

25、·

26、CD

27、＝1.故选A.答案　A4．已知椭圆＋＝1(0

28、A

29、B

30、＝2b，∴S△ABF＝×2b×＝b＝≤＝2(当且仅当b2＝4－b2，即b2＝2时取等号)，故△ABF面积的最大值为2.答案　B5．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线分别交于A，B两点，则的值等于(　　)．A．5B．4C．3D．2解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1>x2，易知直线AB的方程为y＝x－p，代入抛物线方程y2＝2px，可得x1＋x2＝p，x1x2＝，可得x1＝p，x2＝，可得＝＝＝3.答案　C6．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，

31、左、右焦点分别为F1、F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若

32、PF1

33、＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1·e2的取值范围是(　　)．A．(0，＋∞)B．C.D．解析　设椭圆与双曲线的半焦距为c，

34、PF1

35、＝r1，

36、PF2

37、＝r2.由题意知r1＝10，r2＝2c，且r1>r2,2r2>r1，∴2c<10,2c＋2c>10，∴.答案　B7．(2014·湖北卷)已知F1，F2是椭

38、圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为(　　)．A.B．C．3D．2解析　设

39、PF1

40、＝r1，

41、PF2

42、＝r2(r1>r2)，

43、F1F2

44、＝2c，椭圆长半轴长为a1，双曲线实半轴长为a2，椭圆，双曲线的离心率分别为e1，e2，由(2c)2＝r＋r－2r1r2cos，得4c2＝r＋r－r1r2.由得∴＋＝＝.令m＝＝＝＝，当＝时，mmax＝，∴max＝，即＋的最大值为.答案　A二、填空题8．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与

45、双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.解析　由题意知B，代入方程－＝1得p＝6.答案　69．(2014·武昌区调研测试)已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋4＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________．解析　过点P作抛物线的准线的垂线，垂足为A，交y轴于B，由抛物线方程为y2＝4x得焦点F的坐标为(1,0)，准线为x＝－1，则由抛物线的定义可得d1＋d2＝

46、PA

47、－

48、AB

49、＋d2＝

50、

51、PF

52、－1＋d2，

53、PF

54、＋d2大于或等于焦点F到直线l的距离，即

55、PF

56、＋d2的最小值为＝，所以d1＋d2的最小值为－1.答案　－110．(2013·安徽卷)已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点．若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为________．解析　以AB为直径的圆的方程为x2＋(y－a)2＝a.由得y2＋(1－2a)y＋a2－a＝0，即(y－a)[y－(a－1)]＝0.由已知解得a≥1.答案　[1，＋∞)11．(20