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1、锥曲线中的综合问题規范专练HuiFANZHUANLIAN.»热点O圆锥
2、
3、
4、
5、线屮的最值与范围问题训练捉示:求解授值与范围问题的关键是寻找冃标函数或关系式,将所求量转化求解.1.已知圆M:(x+vTa)2+y2=16a(a>0)及定点N(v^a,0),点P是圆M上的动点，点G在MP上,且满足
6、GP
7、=
8、GN
9、,G点的轨迹为曲线C.⑴求曲线C的方程；(2)若点A(1,0)关于直线x+y-t=0(t>0)的对称点在曲线C上，求a的取值范围.所以a的取值范围为［丰,+8).2.已知抛物线C:x2=4y,F为其焦点.⑴设P为直线1:x-y-2=0上的点，过点P作抛物线C的两
10、条切线PA,PB,当点P(x°,y0)为直线1上的定点时,求直线AB的方程；(2)当点P在直线1上移动时，求
11、AF
12、•
13、BF
14、的最小值.解：(1)抛物线C的方程为x2=4y,即y±x；求导得『=
15、x.设A(xi,yi),B(X2,y2)(其中yi=—,y2=?),则切线PA,PB的斜率分别为lx】,二?.所以切线PA的方程为y-y尸学(x-xj,即y二汽卑+丫1,即xix-2y-2yi=0.MV同理，可得切线PB的方程为x2x-2y-2y2=0.因为切线PA,PB均过点P(xo,y0),所以XiXo-2yo-2yi=0,x2Xo-2yo-2y2=O.所以(xi,yi
16、),(x2,y2)为方程xox-2yo-2y=0的两组解.故直线AB的方程为xox-2y-2yo=O.(2)由抛物线定义可知
17、AF
18、=yi+l,
19、BF
20、=y2+l,所以
21、AF
22、・IBF
23、=(yi+1)(y2+1)=yiyz+(yi+y2)+1.联立方程卜吟洱=6I矿=4y,消去x整理得y2+(2yo-X5)y+4=O,由根与系数的关系可得*+丫2胡-2y(),yiy2=J'5,所以
24、AF
25、•
26、BF
27、=yiy2+(yi+y2)+I=v
28、+r5-2yo+l.又点P(xo,yo)在直线1上，所以xo=yo+2.所以M+坊-2刃+1=2殆+2y°+5=2(y°+》2+;.所
29、以当y。二二时,
30、AF
31、・IBF
32、取得最小值，且最小值为»热点争圆锥曲线中的定点、定值问题训练捉示：rfl直线方程确定定点，若得到直线方程的点斜式:y-yo=k(x-xo),则直线必过定点(xo,yo);若得到了直线方程的斜截式:y=kx+m,则宜线必过定点(0,m).证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关;也可令系数等于零，得出定值.1.已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)已知点B(-l,0),设不垂直于x轴的直线1与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是
33、ZPBQ的角平分线，证明直线1过定点.由题意,
34、O】A
35、=
36、O】M
37、,当0i不在y轴上时，过作OH丄MX交MN于H,则H是MN的中点,所以又尸+严,所以企严4严二点化简得y~8x(xH0).又当Oi在y轴上时,0占0重合，点01的坐标(0,0)也满足方程y2=8x,所以动圆闘心的轨迹C的方程为y2=8x.⑵证明：如图，由题意，设直线1的方程为y二kx+b(kH0),P(x),y】)，Q(X2,y2),将y=kx+b代入y2=8x中，得k2x2+(2bk-8)x+b2=0,其中△二-32kb+64>0.由根与系数的关系得,xi+x?二学，①X1X2—,因为X轴是ZPB
38、Q的角平分线,所以詮窃即yi(x2+l)+y2(xi+l)=0,(kxi+b)(x2+l)+(kx2+b)(X1+1)=O,2kx)X2+(b+k)(X1+X2)+2b=0,③将①②代入③，并-整理得2kbS(k+b)(8-2bk)+21?b=0,所以k二-b,此时A>0,所以直线1的方程为y=k(x-l),所以直线1过定点(1,0).1.已知直线1:y二x+愿,圆0:x2+y2=5,椭圆E:±+g二1(a>b>0)的离心率e二于,直线1被圆0截得的弦长与椭圆的短轴长相等.(1)求椭圆E的方程；(2)过圆0上任意一点P作椭圆E的两条切线，若切线都存在斜率，求证两切线
39、斜率之积为定值.解：(1)设椭圆半焦距为c,圆心0到1的距离则1被圆0截得的弦长为所以b二忆由题意得id2=+C2a又b二vZ所以a2=3,b2=2.所以椭圆E的方程为亍+『1.⑵证明：设点P(xo,yo),过点P的椭圆E的切线lo的方程为y-yo=k(x-xo),整理得y二kx+yo-kxo,联立肓线1。少椭圆E的方程得消去y得2[kx+(yo-kxo)]2+3x2-6=0,整理得(3+2k2)x"+4k(y0-kx0)x+2(kx()-y(>)'-6二0,因为1。与椭圆E相切，所以A=[4k(yo-kxo)]2-4(3+2k2)[2(kxo-yo)2~6]二
