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1、专题本资料分享自千人教师QQ群323031380期待你的加入与分享强化练7 空间角和距离一、选择题 1.(2020四川资阳高二上期末,)一个正方体的平面展开图如图所示,在该正方体中,给出如下3个命题:①AF⊥CG;②AG与MN是异面直线且夹角为60°;③BG与平面ABCD所成的角为45°.其中真命题的个数是( )A.0B.1C.2D.32.(2020四川成都七中高三二模,)如图所示,三棱锥P-ABC的底面ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,且PA=PB=AB=2,P
2、C=3,则点C到平面PAB的距离等于( )A.13B.63C.33D.233.(2020湖南长沙明德中学高一上月考,)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱CC1的中点,F是侧面BCC1B1内的动点,且A1F∥平面D1AE,则A1F与平面BCC1B1所成角的正切值t构成的集合是( )A.t
3、255≤t≤23B.t
4、255≤t≤2C.{t
5、2≤t≤23}D.{t
6、2≤t≤22}4.(多选)(2020海南海口高三模拟,)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AC=23AB=2,AB⊥A
7、C,D,E分别是线段BC,B1C上的动点(不含端点),且ECB1C=DCBC.则下列说法正确的是( )A.ED∥平面ACC1B.该三棱柱的外接球的表面积为68πC.异面直线B1C与AA1所成角的正切值为32D.二面角A-EC-D的余弦值为413二、填空题5.(2020浙江杭州学军中学高二上期中,)如图,已知三棱锥A-BCD的所有棱长均相等,点E满足CE=3EB,点P在棱AB上运动,设EP与平面BCD所成的角为θ,则sinθ的最大值为 . 6.(2020浙江宁波九校高二上期末联考,)边长为2的等
8、边△ABC和直角△ABC1所在半平面构成60°的二面角,当∠AC1B=90°,∠C1AB=30°时,线段CC1的长度为 . 三、解答题7.(2020黑龙江哈尔滨三中高三上期末,)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC,D、E分别为AA1、B1C的中点.(1)证明:DE⊥平面BCC1B1;(2)若AB=2,直线B1B与直线CD所成的角为45°,求点B到平面B1CD的距离.8.(2020福建宁德高三上期末,)如图,平面ABCD⊥平面EBC,四边形ABCD为矩形,AB=1,
9、∠EBC=π3,且M、N分别为AB、CE的中点.(1)证明:MN∥平面AED;(2)若BC=BE=2,求二面角E-AD-B的大小.9.(2020天津实验中学高一上期末,)如图,在四棱锥P-ABCD中,AD⊥平面PDC,AD∥BC,PD⊥PB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2,(1)求证:PD⊥平面PBC;(2)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.10.(2020湖北武汉武昌高二月考,)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是边长为2的正三角形,侧棱长为a,E为AB的中点.(1)若a=1,证
10、明B1E⊥平面A1EC;(2)若a=2,求直线B1E与平面A1EC所成角的正弦值.答案全解全析一、选择题1.C 将平面展开图还原成正方体,如图所示:对于①,连接MB,易知MB∥CG,MB⊥AF,∴AF⊥CG,①正确;对于②,连接AC,易知MN∥AC,∴∠GAC是异面直线AG与MN所成的角,易知△GAC为等边三角形,∴∠GAC=60°,②正确;对于③,连接BD,易知∠GBD为BG与平面ABCD所成的角,∠GBD≠45°,③错误.故选C.2.C 取AB的中点G,连接PG、CG,作CH⊥PG,垂足为H,如图
11、所示,∵PA=PB=AB=2,∴△PAB为等边三角形.∵G为AB的中点,∴PG⊥AB,∵△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,∴CG⊥AB,又PG∩CG=G,∴AB⊥平面PCG,又CH⊂平面PCG,∴AB⊥CH.又CH⊥PG,PG∩AB=G,∴CH⊥平面PAB,即CH就是点C到平面PAB的距离.在等边三角形PAB中,PG=32×2=62,在Rt△ABC中,CG=1×12=22,在△PCG中,由余弦定理的推论可得cos∠PGC=PG2+CG2-PC22PG·CG=622+222-(3)22×62×
12、22=-33,∴sin∠PGC=1-cos2∠PGC=1--332=63,在Rt△CHG中,CH=CG·sin(π-∠PGC)=22×63=33,∴点C到平面PAB的距离为33.故选C.3.D 设平面AD1E与直线BC交于点G,则G为BC的中点,连接AG、EG,分别取B1B、B1C1的中点M、N,连接A1M、MN、A1N,则A1M∥D1E,MN∥EG.∵A1M⊄平面D1AE,D1E⊂平面D1AE,∴A1M∥平面D1AE,同理可得MN∥平面D1AE.∵A1
