高考数学专题七立体几何第练空间角和空间距离求解练习创新

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1、.【步步高】(浙江专用)2017年高考数学专题七立体几何第55练空间角与空间距离的求解练习训练目标(1)会求线面角、二面角;(2)会解决简单的距离问题.训练题型(1)求直线与平面所成的角;(2)求二面角;(3)求距离.解题策略利用定义、性质去“找”所求角,通过解三角形求角的三角函数值,尽量利用特殊三角形求解.一、选择题1.(2015·上海闵行区三模)如图,在底面是边长为a的正方形的四棱锥P-ABCD中,已知PA⊥平面ABCD,且PA=a,则直线PB与平面PCD所成的角的余弦值为(  )A.B.C.D.2.(2015·邯郸上学期教学质量检测)在正四棱锥P-AB

2、CD中,PA=2,直线PA与平面ABCD所成角为60°,E为PC的中点,则异面直线PA与BE所成的角为(  )A.90°B.60°C.45°D.30°3.如图所示,在三棱锥S—ABC中,△ABC是等腰三角形,AB=BC=2a,∠ABC=120°,SA=3a,且SA⊥平面ABC,则点A到平面SBC的距离为(  )A.B.C.D.二、填空题4.(2015·丽水二模)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M为平面ABB1A1的中心,则MC1与平面BB1C1C所成角的正切值为________.......5.如图所示,在三棱锥S-ABC中,△SBC,△ABC

3、都是等边三角形,且BC=1,SA=,则二面角S-BC-A的大小为________.6.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在线段AD1上运动,给出以下命题:①异面直线C1P与CB1所成的角为定值;②二面角P-BC1-D的大小为定值;③三棱锥D-BPC1的体积为定值;④异面直线A1P与BC1间的距离为定值.其中真命题的个数为________.三、解答题7.(2015·浙江名校交流卷)如图,在△ABC中,∠ABC=45°,点O在AB上,且OB=OC=AB,PO⊥平面ABC,DA∥PO,DA=AO=PO.(1)求证:PB∥平面COD;(2)求

4、二面角O-CD-A的余弦值.8.(2015·宁波二模)如图,正四棱锥S-ABCD中,SA=AB=2,E,F,G分别为BC,SC,CD的中点.设P为线段FG上任意一点.(1)求证:EP⊥AC;(2)当P为线段FG的中点时,求直线BP与平面EFG所成角的余弦值.......9.(2015·安徽江南十校上学期期末大联考)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,且PB与底面ABCD所成的角为45°,E为PB的中点,过A,E,D三点的平面记为α,PC与α的交点为Q.(1)试确定Q的位置并证明;(2)求四棱锥P-ABCD被平面α所分成上下两部

5、分的体积之比;(3)若PA=2,截面AEQD的面积为3,求平面α与平面PCD所成的锐二面角的正切值.......答案解析1.D [设B到平面PCD的距离为h,直线PB与平面PCD所成的角为α,则由等体积法可得××a·a·h=×a·a·a,∴h=a.又∵PB=a,∴sinα=,又∵α∈(0,),∴cosα=.故选D.]2.C [如图,连接AC,BD交于点O,连接OE,OP.因为E为PC中点,所以OE∥PA,所以∠OEB即为异面直线PA与BE所成的角.因为四棱锥P-ABCD为正四棱锥,所以PO⊥平面ABCD,所以AO为PA在平面ABCD内的射影,所以∠PAO即为

6、PA与平面ABCD所成的角,即∠PAO=60°.因为PA=2,所以OA=OB=1,OE=1.所以在直角三角形EOB中,∠OEB=45°,即异面直线PA与BE所成的角为45°.故选C.]3.A [作AD⊥CB交CB的延长线于点D,连接SD,如图所示.∵SA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴SA⊥BC.又BC⊥AD,SA∩AD=A,SA⊂平面SAD,AD⊂平面SAD,∴BC⊥平面SAD,又BC⊂平面SBC,∴平面SBC⊥平面ASD,且平面SBC∩平面ASD=SD.在平面ASD内,过点A作AH⊥SD于点H,则AH⊥平面SBC,AH的长即为点A到平面SBC的距离.在

7、Rt△SAD中,SA=3a,AD=AB·sin60°=a.由=,得AH===,即点A到平面SBC的距离为.]4.解析 ......如图,过点M作BB1的垂线,垂足为N,则MN⊥平面BB1C1C,连接NC1,则∠MC1N为MC1与平面BB1C1C所成的角.设正方体的棱长为2a,则MN=a,NC1=a,所以tan∠MC1N=.5.60°解析 取BC的中点O,连接SO,AO,因为AB=AC,O是BC的中点,所以AO⊥BC,同理可证SO⊥BC,所以∠SOA是二面角S-BC-A的平面角.在△AOB中,∠AOB=90°,∠ABO=60°,AB=1,所以AO=1×sin6

8、0°=.同理可求SO=.又SA=,所以△SOA是等边

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