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1、教学设计《二元一次方程组的解法》江西奉新赤岸初中陈开富教学目标 【知识与技能】 理解二元一次方程、二元一次方程组和它们的解的含义,并会检验一对数是不是某个二元一次方程组的解. 【过程与方法】 经历认识二元一次方程和二元一次方程组的过程,感受类比的学习方法在数学学习过程中的作用. 【情感、态度与价值观】 学会用类比的方法迁移知识,体验二元一次方程组在处理实际问题中的优越性,感受学习数学的乐趣. 教学重难点 【重点】理解二元一次方程组的解的意义. 【难点】求二元一次方程的正整数解. 教学过程 一、创设
2、情境,引入新课 古老的“鸡兔同笼”问题: “今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足.问鸡、兔各几何?” 教师描述: 这是我国古代数学著作《孙子算经》中记载的数学名题.它曾在好几个世纪里引起过人们的兴趣,这个问题也一定会使在座的各位同学感兴趣.怎样来解答这个问题呢? 学生思考并自行解答,教师巡视.最后,在学生动手动脑的基础上,集体讨论并给出各个解决方案.教师展示幻灯片: 方法1:算筹解法.(孙子算经,用算筹研究代数.) 方法2:图形解法.(尚不成熟的符号语言,但很直观.) 方法3:算术解法. 兔数
3、 (94÷2)-35=12 鸡数 35-12=23 方法4:一元一次方程的解法. 解:设鸡有x只,则兔有(35-x)只,则可列方程: 2x+4(35-x)=94 解得:x=23 则鸡有23只,兔有12只. 请同学们自己思考. 教师不失时机地复习一元一次方程的有关概念,“元”是指什么?“次”是指什么? 二、尝试活动,探索新知 1.讨论二元一次方程、二元一次方程组的概念. 教师提问: 上面的问题可以用一元一次方程来解,那么还有其他方法吗? 方法6:设有x只鸡,y只兔,依题意得: x+y=35 ① 2
4、x+4y=94 ② 针对学生列出的这两个方程,教师提出如下问题: (1)你能给这两个方程起个名字吗? (2)为什么叫二元一次方程呢? (3)什么样的方程叫二元一次方程呢? 教师结合学生的回答,板书定义1: 含有两个未知数,并且未知数的指数都是1的方程,叫做二元一次方程. 同时教师引导学生利用一元一次方程进行知识的迁移与类比,让学生用原有的认知结构去同化新知识,符合建构主义理念. 教师追问: 在上面的问题中,鸡、兔的只数必须同时满足①、②两个方程.把①、②两个二元一次方程结合在一起,用大括号来连接.
5、我们也给它起个名字,叫什么呢? 学生思考,教师板书定义2: 把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起,就组成了一个二元一次方程组. 2.讨论二元一次方程、二元一次方程组的解的概念. 探究活动:满足x+y=35,且符合问题的实际意义的值有哪些?请填入表中. x … y … 教师启发: (1)若不考虑此方程与上面实际问题的联系,还可以取哪些值? (2)你能模仿一元一次方程的解给二元一次方程的解下定义吗? (3)它与一元一次方程的解有什么区别? 教师板书定义3: 使二元一次
6、方程两边相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解,记为 教师提问: 那么什么是二元一次方程组的解呢? 学生讨论达成共识: 二元一次方程组的解必须同时满足方程组中的两个方程.即:既是方程①的解,又是方程②的解. 教师板书定义4: 二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解. 注意: 二元一次方程组的解是成对出现的,用大括号来连接,表示“且”. 请同学们议一议: 将上述“鸡兔同笼”问题的几种方案进行优劣对比,你有哪些想法呢? 学生通过对比,体验到从算术方法到代数方法是一种进步.当我们遇到
7、求多个未知量,而且数量关系较复杂时,列二元一次方程组比列一元一次方程容易,它大大减轻了我们的思维负担. 三、例题讲解 【例】 下列各对数值中不是二元一次方程x+2y=2的解的是( ) A. B. C. D. 解法分析: 将A、B、C、D中各对数值逐一代入方程检验是否满足方程,选D. 变式练习:上题中的选项是二元一次方程组的解的是( ) 解法分析: 在例1的基础上,进一步检验A、B、C、D中各对值是否满足方程2x+y=-2,使学生明确认识到二元一次方程组的解必须同时满足两个方程. 教师
8、总结: 本例题先检验二元一次方程的解,再检验二元一次方程组的解,符合从简单到复杂的认知规律,使学生更深刻地理解二元一次方程组的解的概念. 四、巩固练习 1.根据下列语句,列出二元一次方程: (1)甲数的一半与乙数的3倍的和为11; (2)甲数和乙数的2倍的差为17. 2.方程x+2y=7在自然数范围内的解( ) A.有无数组 B.有两组 C.有三组 D.有四组 3.若mx+y=1是关于x、y的二元一次方程,那么( ) A.m≠0 B.m=0 C.m是正有理数
