初中联赛数论题集.doc

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1、16．（本题满分16分）有7个人进行某项目的循环比赛，每两个人恰好比赛一场，且没有平局．如果其中有3个人X、Y、Z，比赛结果为X胜Y，Y胜Z，Z胜X，那么我们称X、Y、Z构成一个“圈”．求这7个人的比赛中，“圈”的数目的最大值．一、（本题满分20分）已知三个不同的实数满足，方程和有一个相同的实根，方程和也有一个相同的实根．求的值．三、（本题满分20分）某次数学竞赛共有15个题。下表是对于做对n(n=0，1，2，……，15)个题的人数的一个统计。N：0123……12131415，做对n个题的人数：

2、781021……15631。如果又知其中做对4个题和4个题以上的学生每人平均做对6个题，做对10个题和10个题以下的学生每人平均做对4个题。问这个表至少统计了多少人？1．在12，22，32…，952这95个数中，十位数字为奇数的数共有____个。三、试证：每个大于6的自然数n，都可以表示为两个大于1且互质的自然数之和。3．设1995x3=1996y3=1997z3，xyz＞0，且：1．已知互不相等的实数满足，则．4．若正整数x，y满足方程x2＋y2＝1997，则x＋y等于______．已知a，b

3、为整数，且a＞b，方程3x2＋3（a＋b）x＋4ab＝0的两个根α，β满足关系式α（α＋1）＋β（β＋1）＝（α＋1）（β＋1），试求所有的整数点对（a，b）．三、（本题满分25分）已知定理：“若三个大于3的质数a，b，c满足关系式2a＋5b＝c，则a＋b＋c是整数n的倍数”．试问：上述定理中的整数n的最大可能值是多少？并证明你的结论．1.求所有正整数，使得方程x2-ax+4a=0仅有整数根.3.试写出5个自然数，使得其中任意两个数中的较大的一个数可以被这两个数的差整除.4、一个正整数，若分别加

4、上100和168，则可得到两个完全平方数，这个正整数为。3、（本题满分25分）试确定一切有理数r，使得关于x的方程rx2+(r+2)x+r-1=0有且只有整数根。三、（本题满分25分）已知为整数，方程的两根都大于－1且小于0，求和的值。一．已知方程x2-6x-4n2-32n=0的根都是整数，求整数n的值。3、a、b、c为正整数，且a2＋b3＝c4，求c的最小值。