例说抽象函数的解决方法.doc

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1、例说抽象函数的解决方法(推荐作者不详)   函数是高中数学的核心内容，它对于学生掌握双基和发展能力具有十分重要的意义。通常所说的函数，一般都具有解析式、图表等某种具体的表现形式，但是有一类函数只给出了函数所满足的一部分性质或运算法则，而没有明确的表现形式，这类函数我们通常称之为抽象函数。抽象函数作为初等数学和近代数学的衔接点，既能体现数学的本质特征、近现代数学发展的威力，又能体现新课标对知识和技能考核的要求和高考的能力命意，必将受到人们的重视。以下介绍几种解决抽象函数问题的方法，力求使抽象函数问题的解法有“章”可循。一、赋值法   赋值法的基本思路是：将所给函数的性质转化为条件等式，在

2、条件等式中对变量赋予一些具体的值，构造出所需条件或发现某些性质，其中f（0）、f（1）是常常起桥梁作用的重要条件。　　例１设函数f（x）的定义域为（0，+∞），且对于任意正实数x，y都有　　f（xy）=f（x）+f（y）恒成立。若已知f（2）=1，　　试求：（１）f（1/2）的值；    　　（２）f（2-n）的值，其中n为正整数。　　思路：合理赋值，化抽象为具体，发现递推规律。　　解：（１）令ｘ＝ｙ＝１，则f（1）=f（1）+f（1）　∴f（1）=0            再令x=2，y=1/2，则f（1）=f（2）+f（1/2）∴f（1/2）=－f（2）=－1           

3、（２）由于f（2-2）=f（1/2）+f（1/2）=－2，                f（2-3）=f（1/2）+f（1/2）+f（1/2）=－3，            依此类推就有f（2-n）=－n，其中n为正整数。　　例２已知函数f（x）满足：对任意x、y∈R都有f（x+y2）=f（x）+2f2（y），   且f（1）≠0，则f（2005）=       。   解：在f（x+y2）=f（x）+2f2（y）中，取x=y=0，则f（0）=0，7       再取x=0，y=1，代入得f（1）=2f2（1）。       因为f（1）≠0，所以f（1）=1/2。       在条

4、件式中令x=n，y=1，则得递推式f（n+1）－f（n）=1/2。       所以数列{f（n）}是首项为0.5、公差为0.5的等差数列，所以f（2005）=1002.5。   点评：利用抽象条件，通过赋值（赋具体值或代数式）是解决抽象函数问题的基本方法。二、分类讨论法　　例３设f（x）是定义在R上的函数，当x＞0时，f（x）＞0，且对任意的实数x，y，              　　　　　　　　　均有f（x+y）=f（x）f（y）．求证：对任意x∈R，都有f（x）＞0．　　思路：依据求证目标，对自变量进行分类讨论。　　证明：先证f（0）＞０．　　　　在f（x+y）=f（x）f（y）

5、中，令ｘ＝ｙ＝０，则有f（0）＝f　２（0），　　　　∴f（0）＝０或f（0）＝１．　　　　当f（0）＝０时，令ｙ＝０，ｘ＞０得，f（ｘ）＝f（ｘ）·f（0）＝０，　　　　此与题设：当ｘ＞０时，f（x）＞0矛盾，所以f（x）≠0，故f（０）＝１＞0．　　　　再证当ｘ＜０时，f（x）＞0．由于当ｘ＞０时，f（x）＞0，　　　　因此当ｘ＜０时，－ｘ＞０，有f（－x）＞0．而f（x）·f（－x）＝f（0）＝１，　　　　∴f（ｘ）＝１／f（－x）＞0．　　　　于是，对任意ｘ∈R，都有f（x）＞0．　　点评：本题在分类讨论的过程中，灵活运用了赋值法．三、利用函数单调性7   解抽象函数不等式，要

6、设法将它转化成显性的不等式求解．这需要具备两个条件：一是要把不等式化为f(□)＞f(△)的形式，二是要判断函数的单调性。再根据函数的单调性，将抽象函数不等式的符号＂f＂去掉，得到具体的不等式求解．   例４若f(x)是定义在（0，+∞）上的减函数，且对一切a，b∈（0，+∞），   都有f(a/b)=f(a)－f(b)，且f(4)=1，试解不等式f(x+6)－f(1/x)＞2．   思路：逆用函数单调性，将不等式中的函数关系转化为自变量之间的关系．   解：因为f(a/b)=f(a)－f(b)，且f(4)=1，所以f(x+6)－f(1/x)＞2,则f(x+6)－f(1/x)＞2f(4)

7、,则有f(x2+6x)－f(4)＞f(4),故f[(x2+6x)/4]＞f(4)．由于f(x)是（0，+∞）上的减函数，因此由1/x＞0,x+6＞0,(x2+6x)/4＜4同时成立解得0＜x＜2，故原不等式的解集是(0，2)．   例５设f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，且对任意a、b∈[－1,1]，当a+b≠0时，都有[f(a)＋f(b)]÷(a+b)＞0，解不等式f（x+1/2）＜f（1/x-1）．   解：先证明函数的单调性．