第11讲两自由度振动.ppt

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1、上次内容回顾位移干扰引起的强迫振动周期激励引起的强迫振动任意激励引起的强迫振动隔振设计本次教学内容两自由度系统的自由振动方程固有频率和主振型自由振动方程的求解自由振动特性强迫振动的运动微分方程及其求解一、两自由度系统的自由振动方程二自由度系统振动模型对质量块m2：对质量块m1：质量矩阵刚度矩阵位移列阵位移列阵质量矩阵和刚度矩阵的基本概念：在今后的有限元理论和结构力学中将大量使用到这些概念。一般来讲，若系统具有n个自由度，则质量矩阵和刚度矩阵为n阶方阵（有n行n列各元素），它们反映了机械系统的质量分布、结构形式以及支撑条件等系统本身固有不变

2、的特性，且为对称矩阵。当n=1时，质量矩阵和刚度矩阵分别退化为系统的等效质量和等效刚度。运动微分方程有形如（2）的统一形式。二、固有频率和主振型1、固有频率的计算根据常微分方程理论，方程（1）的基本解（特解）为：为了求解方便，引入：方程（1）可化为：对（3）求二阶导数得：频率方程(3)和(5)代入(4)思考：对一般情况，把(3)和(5)代入(2)，如何得到频率方程？讨论：？系统的第一主频率，或第一阶固有频率，或基频，对于机械系统，不管简化成什么形式的动力学系统，基频有着很重要的工程意义，大家在以后的工程实践中会逐步体会到此问题。系统的第二

3、主频率，或第二阶固有频率。系统的固有频率只取决于系统本身的物理性质。2、振型由（6）式可知：振幅之比与系统的固有特性有关，而且随固有频率不同而不同，通常用振型表示振幅之比，分别用表示第一阶固有频率和第二阶固有频率对应的振型。上标(1),(2)表示第1、2阶频率下标1、2表示第1、2变量我们知道：因此：回顾一下：因此：结论：1）尽管振幅的大小取决于许多因素（如初始条件），但是当系统按某一频率振动时，振幅比只与该振动频率和系统的固有物理特性有关；2）二自由度系统各点的运动均可用x1、x2表示，而由（8）可知，当系统以某阶频率振动时，由于等于振

4、幅之比，因此振幅比决定了整个系统的振动形态，因此将称为系统的主振型，也可叫系统的固有振型。当系统以某一阶固有频率振动时，称为系统的主振动。第一阶主振动：第二阶主振动：讨论：1）由于，因此如果系统作第一主振动时，根据（9）可知，各点的运动方向相同。第一阶主振型2）由于，因此如果系统作第二主振动时，根据（10）可知，m1和m2的运动方向永远相反。结点由于结点的固定性，限制了振幅的增大。第二阶主振型3）对n自由度系统而言，有n阶固有频率和主振型，第I阶振型一般有（I-1）个结点，因此阶数越高，结点越多，则振幅的增大约困难。反过来，对于低阶的主振

5、动，由于结点少，故低阶的主振动容易被激起，因此，在工程实践中，我们更关心的是低阶振型。三、自由振动方程的求解前面我们讨论了2自由度系统的二阶主振动，它们只是振动微分方程的特解（基本解），根据微分方程理论，通解应该是特解的叠加，所以：四个待定常数：初始条件初始条件：（11）展开得：求导得：代入初始条件得：得：得：得：得：类似地：四、自由振动特性1、运动规律1）两个简谐运动的合成；2）各阶主振动所占的比例由初始条件确定（即振幅的大小），但由于低阶主振动更容易被激起，因此一般情况下总是低阶主振动占优势。2、频率和振型3、结点和结面五、强迫振动的

6、运动微分方程及其求解对质量块m1：对质量块m2：令：1、运动微分方程2、方程求解方程（1）是典型的线性常微分方程组，设其解为，则自由振动解受迫振动解对实际的工程系统，由于阻尼的存在，自由振动解会很快地衰减掉，因此往往只关心受迫振动，受迫振动可写成：思考：为何与外部激励没有相位差？因为忽略阻尼（2）和（3）代入（1）得：Assignment1、一辆汽车重17640N，拉着一个重15092N的拖车。若挂钩的弹簧常数为171500N/m。试确定系统的固有频率和振型。2如图所示系统，不计摆杆的质量。1）试写出系统的运动微分方程2）证明系统作微振动

7、时的频率满足下式