第6章 两自由度系统的振动

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1、第六章两自由度系统的振动§6.1概述前一章介绍了单自由度系统的振动，它是振动理论的基础，有广泛的应用价值。但在实际工程问题中，经常会遇到一些不能简化为单自由度系统的振动问题。因此有必要进一步研究多自由度系统的振动理论。两自由度系统是最简单的多自由度系统。从单自由度系统到两自由度系统，振动的性质和研究方法有质的不同。但从两自由度系统到多自由度系统的振动，无论从模型的简化、振动微分方程的建立和求解的一般方法，以及系统响应表现出来的振动特性等等，却没有什么本质上的区别，而主要是量上的差别。因此研究两自由度系统

2、是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。所谓两自由度系统是指用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。很多生产实际中的问题都可以简化为两自由度系统的振动系统。图6-1所示的磨床磨头系统为例来分析，因为砂轮主轴安装在砂轮架内轴承上，可以近似地认为是刚性很好的、具有集中质量的砂轮主轴系统支承在弹性很好的轴承上，因此可以把它看成支承在砂轮架内的一个弹簧——质量系统。此外，砂轮架安装在砂轮进刀拖板上，如果把进刀拖板看成是静止不动的，而砂轮架与进刀拖板的结合看成是弹簧，把砂轮架看成是集中

3、的质量，则砂轮架系统又近似地简化为图示的支承在进刀拖板上的另一个弹簧——质量系统。这样，磨头系统就可以近似地简化为图示的支承在进刀拖板上的两自由度系统。在这一系统的动力学模型中，m1是砂轮架的质量，k1是砂轮架支承在进刀拖板上的静刚度，m2是砂轮及其主轴系统的质量，k2是砂轮主轴支承在砂轮架轴承上的静刚度。取每个质量的静平衡位置作为坐标原点，取其铅垂位移x1及x2分别作为各质量的独立坐标。这样x1及x2就是用以确定磨头系统运动位置的两个彼此独立的参数，也就是这个振动系统的广义坐标。图6-1两自由度系统及

4、其动力学模型在多自由度系统中，阻尼的作用与在单自由度系统中的作用相同。因此，为了使数学式简化，并突出振动特性，故本章在分析两自由度系统振动的基本规律时，没有把阻尼引入系统。145§6.2两自由度系统的自由振动6.2.1系统的运动微分方程以图6-2的双弹簧系统为例。设弹簧的刚度分别为k1、k2，质量为m1、m2。质量的位移分别用x1、x2来表示，并以静平衡位置为坐标原点，以向下为正方向。图6-2双弹簧系统在振动过程中的任一瞬间t，m1和m2的位移分别为x1及x2。此时，在质量m1上作用有弹性恢复力k1x1

5、及k2(x2－x1)，在质量为m2上作用有弹性恢复力k2(x2－x1)。这些力的作用方向如图所示。应用牛顿第二定律或达朗贝尔原理，均可建立该系统的振动微分方程式：(6-1)令，，则(6-1)式可改写成如下形式：(6-2)这是一个二阶常系数线性齐次联立微分方程组。在第一个方程中包含项，第二个方程中则包含项，称为“耦合项”。这表明，质量m1除收到弹簧k1的恢复力的作用外，还收到弹簧k2的恢复力的作用，而且k2弹簧的变形是m1和m2之间的相对位移。质量m2虽然只受到一个弹簧k2恢复力的作用，但这个恢复力又受到

6、第一质点m1位移的影响。我们把这种位移之间有耦合的情况称为弹性耦合。有时，在振动微分方程组中还会出现加速度之间有耦合的情况，则称之为惯性耦合。有关耦合的概念将在下一章中详细讨论。6.2.2固有频率和主振型145从单自由度振动理论得知，系统的无阻尼自由振动是简谐振动。我们也希望在两自由度系统无阻尼自由振动中找到简谐振动的解。因此可先假设方程组(6-2)式有简谐振动解，然后用待定系数法来寻找有简谐振动解的条件。设在振动时，两个质量按相同的频率和相同的相位角作简谐振动。故可设方程租(6-2)式的特解为：(6-

7、3)其中振幅A1与A2、频率、初相位角都有待于确定。对(6-3)式分别取二阶导数：(6-4)将(6-3)、(6-4)式代入(6-2)，并加以整理后得：(6-5)(6-5)式是A1、A2的线性齐次代数方程组，它的一个解是A1＝A2＝0，将其代入(6-3)后，引出了x1＝x2＝0。这只是系统处于平衡位置的情况，而不说明振动的任何性质，所以显然不是我们所要的振动解。要使A1、A2有非零解，则(6-5)式的系数行列式必须等于零，即：将上式展开得：即(6-6)解上列方程，可得到如下的两个根：(6-7)因为(6-7

8、)式中的根式永为正值，且(a-b)也是正值，故(6-7)式中的根式永远小于。所以及是两个正实根。因此，可以从中得到两个带正号或者带负号的频率145及，但在实用中当然只考虑正根。由此可见，(6-6)式是决定系统频率的方程，故称为频率方程或特征方程。特征方程的特征值只与参数a、b、c有关，而这些参数又只决定于系统的质量m1、m2和刚度k1、k2，即频率只决定于系统本身的物理性质，故称为系统的固有频率，也称之为主频率。两自由度系统的固有频率有两个