第五章-线性变换-S2-线性变换的矩阵.ppt

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1、第五章线性变换第二节n维线性空间中线性变换的矩阵只讨论n维线性空间V上的线性变换T.研究线性变换T和n阶矩阵之间的关系.§5.2.1线性变换在一个基底下的矩阵已知:在线性空间V中取定一个基底之后，V中任意一个向量与它的象T都可用它们在该基底下的坐标表示出来，而且表示法是唯一的.又T是线性变换，（保持线性组合不变）必有对于n维线性空间V中的任意向量,它在基底[1,2,…,n]下的坐标唯一.且这说明当已知时，每个向量的象由(1)确定，即线性变换被完全确定.(1)定理1设[1,2,…,n]是线性空间V的一个基底，T是V上的线性变

2、换.则线性变换T被该基底的象T1,T2,…,Tn所确定.注：确定一个线性变换就是确定每个元的象。两个线性变换T1和T2相等的意义是它们使得每个向量的象都相同.向量与象T在基底[1,2,…,n]下坐标X=(x1,x2,…,xn)T与Y=(y1,y2,…,yn)T之间的关系设Tj在基底[1,2,…,n]下坐标为(a1j,a2j,…,anj)T写成矩阵形式把n个矩阵形式记在一起得(2)上面矩阵A=(aij)的第j列就是j的象Tj在基底[1,2,…,n]下的坐标.矩阵A称为线性变换T在基底[1,2,…,n]矩

3、阵.因此A被线性变换T唯一确定.写成矩阵形式把前面的(1)(3)(2)代入(3)得到又，而T在同一基底下的坐标是唯一的，因此我们有Y=AX.向量与象T在基底[1,2,…,n]下坐标X之间的关系以后为应用方便，常记于是前面的(2)式可记为目前已经知道给定n维线性空间V中一个线性变换T及一个基底[1,2,…,n]，即可唯一确定一个矩阵A.在V中一个固定基底下面，每个n阶矩阵A是否都是V中一个线性变换的矩阵呢？?分析设V中给定的基底为[1,2,…,n]，A为任意一个n阶矩阵.先看能否找到一个线性变换，使其在该基底下的矩阵恰

4、为A.令T是V上的一个变换(不一定是设为V中任意一个向量，坐标为即=[1,2,…,n]X.线性变换)，使T的坐标为AX,即(这样一个变换使得任一向量的象T坐标为AX)下面证明该变换即为所求.Y是的坐标列的坐标为aX+bY.再由T的定义有故T为线性变换.设又有V，且=[1,2,…,n]Y，向量，a,b为任意数，于是1．先证明T是线性变换2．再证明线性变换T在基底[1,2,…,n]下的矩阵恰为A.只需证明A的第j列Aj就是Tj在[1,2,…,n]下的坐标即可.由于故其坐标恰为由T的定义有由定理1知道

5、T是唯一的，因此我们找到了所求的线性变换T——其在基底[1,2,…,n]下的矩阵恰为任意的n阶矩阵A.定理2对于每个n阶矩阵A，在n维线性空间V中必存在唯一的线性变换T，使得T在V中给定的基底下的矩阵为A.综合定理1和2有如下结论在n维线性空间V的一个给定基底下，若V的每个线性变换T与它在该基底下的矩阵A对应，则在V上的全体线性变换所构成的集合L(V)与全体n阶矩阵A构成的集合之间构成1−1对应.性质：1）线性变换的和对应于矩阵的和；2）线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；3）线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；4）可逆的线性变换与可

6、逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵.例1在n维线性空间V中，令（其中k是定数，该变换称为位似变换或数乘变换，显然是线性变换），求T在V任意一个基底[1,2,…,n]下的矩阵A.解：第j个分量为零变换，在任意基底下矩阵为零矩阵.于是为数量矩阵kE.特别的，当k＝1时，(单位变换)，在任意基底下矩阵为单位矩阵.当k＝0时，为恒等变换例2在R3中，定义下面的线性变换，对任意的(x1,x2,x3)TR3,因此求T在基底下的矩阵A.解：由T的定义知故设线性空间V中线性变换T在两组基底[1,2,…,n]和[1,2,…,n]下的矩阵为A

7、和B，在一个线性空间中，同一个数乘变换在不同基底下的矩阵是一样的，那么对于一般的线性变换是否有这样的结论呢？如果没有，同一个线性变换在不同基底下矩阵又有什么关系呢？?§5.2.2线性变换在不同基底下矩阵的关系且由基底[1,2,…,n]到[1,2,…,n]的过渡矩阵为M，即显然M可逆，且则由线性变换在同一基底下矩阵的唯一性可知这就是线性变换在不同基底下的矩阵之间的关系矩阵间B=M-1AM这种关系，可以用一个新的概念来描述性质(i)反身性A～A；(ii)对称性A～B，则B～A；(iii)传递性A～B，B～C，则A～C.定义设A，B为

8、两个n阶矩阵.若存在满秩矩阵M，使B=M-1AM成立，则称矩阵A与B相似.记为A~B.定理（补）：线性变换在不同基底下所对应的矩阵是相似的.反过来，若两个矩阵相似，则可以看作是同