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1、第五节线性变换的矩阵表示分布图示★线性变换的标准矩阵★例1★线性变换在给定基下的矩阵★线性变换与其矩阵的关系★例2★例3★例4★线性变换在不同基下的矩阵★例5★内容小结★课堂练习★习题6-5内容要点一、线性变换的标准矩阵根据上节例5，若定义中的变换为那么为一个线性变换，设为单位坐标向量,则有因此,如果一个线性变换有关系式,那么矩阵应以为列向量.反之,如果一个结性变换使则有综上所述知,中任何线性变换都可以用关系式表示,其中称为线性变换的标准矩阵.一个线性变换,无论是用图示还是文字描述,我们都希望得
2、到的“计算式”。下面的讨论表明,从到的每个线性变换实际上都是一个矩阵变换,并且的主要性质与矩阵的性质密切相关.求的关键,要注意完全由它在单位矩阵列上的作用所确定的.二、线性变换在给定基下的矩阵定义1设是线性空间中的线性变换，在中取定一个基如果这个基在变换下的象为记则上式可表示为，其中=,那末，则称为线性变换在基下的矩阵.显然，矩阵由基的象唯一确定.三、线性变换与其矩阵的关系设是线性变换在基下的矩阵，即基在变换下的象为=,结论在中取定一个基后，由线性变换可唯一地确定一个矩阵，由一个矩阵也可唯一地确
3、定一个线性变换.故在给定基的条件下，线性变换与矩阵是一一对应的.四、线性变换在不同基下的矩阵已知同一个线性变换在不同的基下有不同的矩阵，那么这些矩阵之间有什么关系呢？定理1设线性空间中取定两个基；，由基到基的过渡矩阵为，中的线性变换在这两个基下的矩阵依次为和，则.定理表明：与相似，且两个矩阵之间的过渡矩阵就是相似变换矩阵.定义2线性变换的象空间的维数，称为线性变换的秩.结论(ⅰ)若是的矩阵，则的秩就是.(ⅱ)若的秩为，则的核的维数为.例题选讲线性变换的标准矩阵例1(E01)设中的列为.如果是从到
4、的线性变换:.求任意的像的公式.解因为是从到的线性变换,所以.线性变换与其矩阵的关系例2(E02)在中,取基=,=,=,=1,求微分运算的矩阵.解所以在这组基下的矩阵为例3(E03)实数域上所有一元多项式的集合，记作,中次数小于的所有一元多项式(包括零多项式)组成的集合记作,它对于多项式的加法和数与多项式的乘法，构成上的一个线性空间。在线性空间中，定义变换,则由导数性质可以证明：是上的一个线性变换,这个变换也称为微分变换.现取的基为，则有，，，…，,因此，在基下的矩阵为=例4(E04)在中，表示
5、将向量投影到平面的线性变换，即,(1)取基为，求的矩阵；(2)取基为,,,求的矩阵.解(1)即(2)即由此可见:同一个线性变换在不同的基下一般有不同的矩阵.线性变换在不同基下的矩阵例5(E05)设中的线性变换，在基，下的矩阵为，求在基,下的矩阵.解即求得于是在基下的矩阵为课堂练习1.已知的两个线性变换=，=，其中=，=,试求在基,,,下的矩阵.
