线性变换的矩阵课件.ppt

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1、一、线性变换与基二、线性变换与矩阵三、相似矩阵§3线性变换的矩阵为V的线性变换，若则命题1设　　　　　是线性空间V的一组基，即：一个线性变换完全由它在一组基上的作用所决定.一、线性变换与基命题2设　　　　　是线性空间V的一组基，对V中都存在线性变换　使任意n个向量即：任意给定基的像都决定一个线性变换.由命题1和命题2即得定理1设为线性空间V的一组基，对V中任意n个向量　　　　　　存在唯一的线性变换　　使设　　　　　为数域P上线性空间V的一组基，为V的线性变换.基向量的象可以被基线性表出,设用矩阵表示即为二

2、、线性变换与矩阵1．线性变换的矩阵其中②单位变换在任意一组基下的矩阵皆为单位矩阵；零变换在任意一组基下的矩阵皆为零矩阵.①A的第i列是　　在基　　　　　下的坐标，矩阵A称为线性变换　在基　　　　　下的矩阵.注：它是唯一的.故　在取定一组基下的矩阵是唯一的.例1.设线性空间　的线性变换　为求　在标准基　　　　下的矩阵.解：则　在标准基　　　　下的矩阵为例2.设　　　　　　　　为n维线性空间V的子空间W的一组基，把它扩充为V的一组基：并定义线性变换　：则称这样的变换　为对子空间W的一个投影.2．线性变换的运算

3、与矩阵的运算定理2设为数域P上线性空间V的一组的唯一一个矩阵对应，且具有以下性质：基，在这组基下，V的每一个线性变换都与　　中①线性变换的和对应于矩阵的和；②线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；③线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；④可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵.证：设　　为两个线性变换，它们在基下的矩阵分别为A、B，即①∴在基下的矩阵为A＋B.②∴在基下的矩阵为AB.③∴在基下的矩阵为④由于单位变换(恒等变换)对应于单位矩阵E.相对应.因此，可逆线性变换　与可逆矩阵A对应，且所以，与

4、AB＝BA＝E逆变换　对应于逆矩阵定理3：设为V的一组基对任意　　　　，定义　：这里A为　在基　　　　　下的矩阵.则　就是　　到　　的一个同构映射.证明：3．线性变换矩阵与向量在线性变换下的象定理4设线性变换　在基　　　　下的矩阵为A,在基　　　　　下的坐标为在基　　　　　下的坐标为则有4．同一线性变换在不同基下矩阵之间的关系下的矩阵分别为A、B，且从基(Ⅰ)到基(Ⅱ)的过渡矩阵矩阵是X，则(Ⅱ)(Ⅰ)定理5设线性空间V的线性变换　在两组基三、相似矩阵1．定义设A、B为数域P上的两个n级矩阵，若存在可逆矩

5、阵　使得则称矩阵A相似于B，记为相似是一个等价关系，即满足如下三条性质：①反身性：②对称性：2．基本性质③传递性：定理6线性变换在不同基下的矩阵是相似的；同一线性变换在两组基下所对应的矩阵.反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作（3）相似矩阵的运算性质若若则则例2.设为线性空间V一组基，线性变换　在这组基下的矩阵为为V的另一组基，且（1）求在下的矩阵B.（2）求解：（1）由定理4，　在基　　　下的矩阵（2）由　　　　　　有于是例3.在线性空间　中，线性变换　定义如下：（1）求在标准基　　下的矩阵.（2

6、）求　在　　　　下的矩阵.解：（1）由已知，有所以则则在标准基　　下的矩阵A为.（2）设　在　　　下的矩阵为B，则A与B相似，且