平面向量公式说课材料.doc

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1、__________________________________________________设a=（x，y），b=(x'，y')。    1、的加法  向量的加法满足和三角形法则。  AB+BC=AC。  a+b=(x+x'，y+y')。  a+0=0+a=a。  向量加法的：  交换律：a+b=b+a；  ：(a+b)+c=a+(b+c)。    2、向量的减法  如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量为0  AB-AC=CB.即“共同起点，指向被减”  a=(x,y)b=(x',y')则a-b=

2、(x-x',y-y').    4、数乘向量  λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa____________________________________________________________________________________________________∣=∣λ∣•∣a∣。  当λ＞0时，λa与a同方向；  当λ＜0时，λa与a反方向；  当λ=0时，λa=0，方向任意。  当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。  注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。  实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λ

3、a的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。  当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；  当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。  数与向量的乘法满足下面的运算律  结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。  向量对于数的（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.  数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.  数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。②如果a≠0且λa=μa，那

4、么λ=μ。   ____________________________________________________________________________________________________ 3、向量的的数量积  定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π  定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a•b。若a、b不共线，则a•b=

5、a

6、•

7、b

8、•cos〈a，b〉；若a、b共线，则a•b=+-∣a∣∣b∣。  向量的数量积的

9、坐标表示：a•b=x•x'+y•y'。  向量的数量积的运算律  a•b=b•a（交换律）；  (λa)•b=λ(a•b)(关于数乘法的结合律)；  （a+b)•c=a•c+b•c（分配律）；  向量的数量积的性质  a•a=

10、a

11、的平方。  a⊥b〈=〉a•b=0。  

12、a•b

13、≤

14、a

15、•

16、b

17、。  向量的数量积与实数运算的主要不同点  1、向量的数量积不满足结合律，即：(a•b)•c≠a•(b•c)；例如：(a•b)^2≠a^2•b^2。  2、向量的数量积不满足消去律，即：由a•b=a•c(a≠0)，推不出b=c。_____________

18、_______________________________________________________________________________________  3、

19、a•b

20、≠

21、a

22、•

23、b

24、  4、由

25、a

26、=

27、b

28、，推不出a=b或a=-b。    4、向量的向量积  定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=

29、a

30、•

31、b

32、•sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。  向量的向量积性质：

33、 ∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。  a×a=0。  a‖b〈=〉a×b=0。  向量的向量积运算律  a×b=-b×a；  （λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；  （a+b）×c=a×c+b×c.  注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。    向量的三角形____________________________________________________________________________________________________  1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣；

34、 ①当且仅当a、b反向时，左边取等号；  ②当且仅当a、b同向时，右边取等号。  2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。