第4节-连续型随机变量及其概率密度.ppt

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1、第四节连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度的定义概率密度的性质三种重要的连续型随机变量小结一、连续型随机变量的引入连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间,对这种类型的随机变量,不能象离散型随机变量那样,以指定它取每个值概率的方式,去给出其概率分布,而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法.则称X为连续型随机变量,称f(x)为X的概率密度函数，简称为概率密度.二、连续型随机变量及其概率密度的定义有,使得对任意实数,对于随机变量X,如果存在非负可积函数f(x),连续型随机变量的分布函数在上连续三、概率

2、密度的性质1o2o【注】这两条性质是判定一个函数f(x)是否为某r.vX的概率密度的充要条件0xf(x)面积为1利用概率密度可确定随机点落在某个范围内的概率对于任意实数x1,x2,(x1

3、密度函数f(x)在某点处a的高度(取值)，并不反映X取值的概率.但是，这个高度越大，则X取a附近的值的概率就越大.也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度.f(x)xoa(1)连续型r.v取任一指定实数值a的概率均为0.即这是因为连续型r.v的分布函数F(x)是连续的，且请注意:当时得到(2)对连续型r.vX,有由P(B)=1,不能推出B=S由P(A)=0,不能推出由此可以得到如下结论：例2故有解(1)因为X是连续型随机变量,例3设随机变量X的概率密度函数为：且求（1）a,b的值；（2）解（1）解之得（2）1.均匀分布则称X在区间(a,

4、b)上服从均匀分布，X～U(a,b)三、常见的连续型随机变量若r.vX的概率密度为：记作公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车站的时间，即乘客的候车时间等.均匀分布常见于下列情形：如在数值计算中，由于四舍五入，小数点后某一位小数引入的误差；例2某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即7:00，7:15，7:30,7:45等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间X是7:00到7:30之间的均匀随机变量,试求他候车时间少于5分钟的概率.解依题意，X～U(0,30)以7:00为起点0，以分为单位为使候车时间X少于5分钟，乘客必须在7:10到7:15之

5、间，或在7:25到7:30之间到达车站.所求概率为：即乘客候车时间少于5分钟的概率是1/3.从上午7时起，每15分钟来一班车，即7:00，7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站，指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命.2.指数分布若r.vX具有概率密度为常数,则称X服从参数为的指数分布.若X服从参数为的指数分布,则其分布函数为事实上,当时,当时,例5设某类日光灯管的使用寿命X服从参数为θ=2000的指数分布(单位:小时).(1)任取一只这种灯管,求能正常使用1000小时以上的概率.(2)有一只这种灯管已经正常使用了1000小时以上,求还能使用100

6、0小时以上的概率.X的分布函数为解指数分布的重要性质:“无记忆性”.3.正态分布若连续型r.vX的概率密度为其中和(>0)都是常数,则称X服从参数为的正态分布或高斯分布.记作事实上,函数在上单调增加,在上单调减少,在取得最大值；x=μσ为f(x)的两个拐点的横坐标；当x→∞时，f(x)→0.f(x)以x轴为渐近线根据对密度函数的分析，也可初步画出正态分布的概率密度曲线图.决定了图形的中心位置，决定了图形中峰的陡峭程度.正态分布的图形特点设X~,X的分布函数是正态分布的分布函数正态分布由它的两个参数μ和σ唯一确定，当μ和σ不同时，是不同的正态分布。标准正态

7、分布下面我们介绍一种最重要的正态分布的正态分布称为标准正态分布.其密度函数和分布函数常用和表示：标准正态分布的性质:事实上,标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.定理1证Z的分布函数为则有根据定理1,只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题.于是书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表.正态分布表当x<0时,表中给的是x>0时,Φ(x)的值.若若X～N(0,1),~N(0,1)则由标准正态分布的查表计算可以求得，这说明，X的取值几乎全部集中在[

8、-3,3]区间内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.当X～N(