连续型随机变量及其概率密度ppt课件.ppt

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1、2.3连续型随机变量及其概率密度一、连续型随机变量二、常见连续型分布1设随机变量X的分布函数为F(x),如果存在非负函数f(x),使得对于任意实数x,有一、连续型随机变量定义:则称X为连续型随机变量,其中函数f(x)称为X的概率密度函数,简称概率密度2可知,连续型随机变量的分布函数F(x)是整个实轴上的连续函数若概率密度f(x)在点x连续,则F(x)=f(x)f(x)的性质:(1)f(x)≥0,

2、:对连续型随机变量X和任意实数a,总有P(X=a)=0即,取单点值的概率为0∵a及>0,有又得P(X=a)=0{X=a}{a

3、x

4、,

5、00x≤08X的分布函数为:综合得:9例2设随机变量X的概率密度为试求X的分布函数解:当x≤0时,=0当0

6、数:若X～U[a,b],[c,c+l][a,b],有:P(c≤X≤c+l)17这说明:X落在[a,b]的子区间内的概率与子区间的长度成正比,而与子区间的位置无关可见,落在长度相等的各个子区间的可能性相等18例4设随机变量X在(2,8)上服从均匀分布,求二次方程y2+2Xy+9=0有实根的概率解:方程有实根=4X236≥0X≥3或X≤3已知P{有实根}=P{X≥3}+P{X≤3}192.指数分布X的概率密度为:称X服从参数为的指数分布由上式求得X的分布函数:20例5某仪器装有三只独立工作的同型号电子元件,其寿命(单位:小时

7、)都服从同一指数分布,概率密度为试求:在仪器使用的最初200小时内,至少有一只电子元件损坏的概率解:以Xi(i=1,2,3)表示第i只元件的寿命则Xi的概率密度为21以Ai(i=1,2,3)表示事件“在最初200小时内,第i只元件损坏”则A1,A2,A3相互独立且P(Ai)=P(0≤Xi≤200)(i=1,2,3)22所求概率为:P(A1∪A2∪A3)=1[1P(A1)][1P(A2)][1P(A3)]=1e1233.正态分布正态分布是实践中应用最为广泛,在理论上研究最多的分布之一,故它在概率统计中占有特别重要的地位X的概率密

8、度为:其中,(>0)为常数24称X服从参数为,的正态分布或高斯分布,记为X～N(,2)oxf(x)可求得X的分布函数为:25当=0,=1时,称X服从标准正态分布N(0,1)其概率密度(x)及分布函数(x)为:26(2)N(,2)的分布函数F(x)与N(0,1)的分布函数(x)的关系:N(0,1)的性质:(1)对称性:(x)=(x)xo-x(x)=1(x)(x)27令,得(3)(4)a

9、.正态分布表表中给的是x>0时,Φ(x)的值.当-x<0时29若~N(0,1)若X～N(0,1),30由标准正态分布的查表计算可以求得，这说明，X的取值几乎全部集中在[-3,3]区间内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.当X～N(0,1)时，P(

10、X

11、1)=2(1)-1=0.6826P(

12、X

13、2)=2(2)-1=0.9544P(

14、X

15、3)=2(3)-1=0.99743准则31将上述结论推广到一般的正态分布,时，可以认为，Y的取值几乎全部集中在区间内.这在统计学上称作“3准则”（三倍标准差原则）.32例6（1）假设某地区成年男性的身高（

16、单位：cm）X～N(170,7.692),求该地区成年男性的身高超过175cm的概率。解:(1)根据假设X～N(170,7.692)，则故事件{X>175}的概率为P{X>175}==0.25