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1、一、概率密度的概念与性质二、常见连续型随机变量的分布三、小结第三节 连续型随机变量及其概率密度一、概率密度的概念与性质1.定义1几何意义：注意(1)连续型随机变量的分布函数是连续函数.改变概率密度f(x)在个别点的函数值不影响分布函数F(x)的取值，因此概率密度不不是唯一的.(因为从几何上看曲线y=f(x)之下的曲边梯形的面积，f(x)的个别点变动不影响面积的大小)证明性质证明可判别f(x)是否为某随机变量的密度函数同时可得以下计算公式物理意义：由此看出概率密度的定义与物理学中的线密度的定义相类似，此即为f(x)称为概率密度
2、的原因.就是这一段的质量.注意对于任意可能值a,连续型随机变量取a的概率等于零.即证明由此可得连续型随机变量取值落在某一区间的概率与区间的开闭无关若X是连续型随机变量，则有若X为离散型随机变量,注意连续型离散型例若事件A,B满足P(AB)=0,则下列说法正确的是()AB是不可能事件;(B)P(A)=0或P(B)=0;(C)A与B不相容；(D)AB未必是不可能事件.答：选(D)解例1例2故有解(1)因为X是连续型随机变量,由分布函数F(x)求概率密度f(x)：只要在相应的区间内对F(x)求关于x的导数，即(2)由概率密度f(x
3、)求分布函数F(x):求变上限广义积分将F(x)完整地写成连续的分段函数(也可能是定义在（-∞，+∞）上的一个函数).注意：求连续型随机变量的分布函数、概率密度的方法：而区间端点(或导数不存在的点)不必考虑(可令为任意非负数),然后将f(x)完整地写成分段定义的函数(也可能是定义在（-∞，+∞）上的一个函数).练习则常数a,b,c分别为()(A)1,1,1;(B)-1,1,1;(C)1,0,1;(D)1,1,0.BA二、常见连续型随机变量的分布1.均匀分布概率密度函数图形均匀分布概率密度函数演示注：(1)均匀分布的意义（2）
4、分布函数均匀分布分布函数图形演示解由题意,R的概率密度为故有例3设电阻值R是一个随机变量，均匀分布在~1100．求R的概率密度及R落在950~1050的概率．例4设随机变量X在[2,5]上服从均匀分布,现对X进行三次独立观测,试求至少有两次观测值大于3的概率.X的分布密度函数为设A表示“对X的观测值大于3”事件,解即A={X>3}.因而有设Y表示3次独立观测中观测值大于3的次数,则例设k在(1,6)内服从均匀分布，求方程2.指数分布指数分布密度函数图形演示某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如无线电元件的寿命、电力设备的寿命
5、、动物的寿命等都服从指数分布.应用与背景分布函数指数分布分布函数图形演示例5设某类日光灯管的使用寿命X服从参数为的指数分布(单位:小时).(1)任取一只这种灯管,求能正常使用1000小时以上的概率.(2)有一只这种灯管已经正常使用了1000小时以上,求还能使用1000小时以上的概率.X的分布函数为解一般，指数分布有重要性质:“无记忆性”.事实上，若例某仪器装有5只独立工作的同型号的电子元件，其寿命(单位：小时)都服从同一指数分布，且概率密度函数试求在仪器使用的最初500小时内，至少一只电子元件损坏的概率.3.正态分布(或高斯
6、分布)高斯资料正态概率密度函数的几何特征正态分布密度函数图形演示正态分布的分布函数正态分布分布函数图形演示正态分布是最常见最重要的一种分布,例如测量误差,人的生理特征尺寸如身高、体重等;正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布.正态分布的应用与背景正态分布下的概率计算原函数不是初等函数方法一:利用MATLAB软件包计算(演示)方法二:转化为标准正态分布查表计算标准正态分布的概率密度表示为标准正态分布标准正态分布的分布函数表示为标准正态分布的图形解例6证明由引理得结论1结论2例8证明证明注：此例可见，
7、若(1)所求概率为解例9例在电源电压不超过200V,在200~240V和超过240V三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2.假设电源电压X服从正态分布该电子元件损坏的概率α；(2)该电子元件损坏时，电源电压在200~240V的概率β；(3)由条件，即确定最小的x,使查表并利用分布函数的单调不减性，有即最小x为261.为了便于今后的应用，对于标准正态随机变量我们引入α分位点的定义练习4C分布函数三、小结2.常见连续型随机变量的分布均匀分布正态分布(或高斯分布)指数分布正态分布有极其广泛的实际背景,例
8、如测量误差,人的生理特征尺寸如身高、体重等,正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度,炮弹的弹落点的分布等,都服从或近似服从正态分布.可以说,正态分布是自然界和社会现象中最为常见的一种分布,一个变量如果受到大量微小的、独立的随机因素的影响,那么这个变量一般是一个正态随机变量.3.正态
