2020_2021学年高中数学第一章计数原理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质跟踪训练含解析新人教A版选修2_320210204289.doc

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1、“杨辉三角”与二项式系数的性质[A组　学业达标]1．在(a＋b)n的二项展开式中，与第k项二项式系数相同的项是(　　)A．第n－k项　　　　　　B．第n－k－1项C．第n－k＋1项D．第n－k＋2项解析：第k项的二项式系数是C，由于C＝C，故第n－k＋2项的二项式系数为C.答案：D2．设二项式n的展开式中第5项是常数项，那么这个展开式中系数最大的项是(　　)A．第9项B．第8项C．第9项和第10项D．第8项和第9项解析：因为展开式的第5项为T5＝Cx－4，所以令－4＝0，解得n＝16，所以展开式中系数最大的项是第9项．答

2、案：A3．(x－y)7的展开式中，系数的绝对值最大的项是(　　)A．第4项B．第4、5项C．第5项D．第3、4项解析：(x－y)n的展开式有n＋1项，当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大．而(x－y)7的展开式中，系数的绝对值最大的项是中间两项，即第4、5项．答案：B4．(1＋x)2n＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是(　　)A．n，n＋1B．n－1，nC．n＋1，n＋2D．n＋2，n＋3解析：2n＋1为奇数，展开式中中间两项的二项式系数最大，分别为第项，第项，即第(

3、n＋1)项与第(n＋2)项．故选C.答案：C5．设(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为(　　)A．－2B．－1C．1D．2解析：令x＝－1，则原式化为[(－1)2＋1][2×(－1)＋1]9＝－2＝a0＋a1(2－1)＋a2(2－1)2＋…＋a11(2－1)11，∴a0＋a1＋a2＋…＋a11＝－2.答案：A6．若(x＋3y)n的展开式中各项系数的和等于(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和，则n的值为________．解析：

4、(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝210，令(x＋3y)n中x＝y＝1，则由题设知，4n＝210，即22n＝210，解得n＝5.答案：57．在(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)6的展开式中，x2的系数为________．解析：(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)6的展开式中x2的系数为C＋C＋C＋C＋C＝35.答案：358．设(3x－2)6＝a0＋a1(2x－1)＋a2(2x－1)2＋…＋a6(2x－1)6，则＝________.解析：令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a6＝1，令x＝0

5、，得a0－a1＋a2＋…＋a6＝64，两式相减，得2(a1＋a3＋a5)＝－63，两式相加，得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝65，故＝－.答案：－9．若x4(x＋3)8＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a12(x＋2)12，求log2(a1＋a3＋…＋a11)的值．解析：令x＝－1，∴28＝a0＋a1＋a2＋…＋a11＋a12.令x＝－3，∴0＝a0－a1＋a2－…－a11＋a12，∴28＝2(a1＋a3＋…＋a11)，∴a1＋a3＋…＋a11＝27，∴log2(a1＋a3＋…＋a11)＝log227＝7.1

6、0．杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，如图是一个11阶杨辉三角：(1)求第20行中从左到右的第4个数；(2)求n阶(包括0阶)杨辉三角的所有数的和；(3)在第2斜列中，前5个数依次为1,3,6,10,15；第3斜列中，第5个数为35.显然，1＋3＋6＋10＋15＝35.事实上，一般地有这样的结论：第m－1斜列中(从右上到左下)前k个数之和，一定等于第m斜列中第k个数．试用含有m，k(m，k∈N*)的数字公式表示上述结论，并给予证明．解析：(1)C＝1140.

7、(2)1＋2＋22＋…＋2n＝2n＋1－1.(3)C＋C＋…＋C＝C.证明：左边＝C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝…＝C＋C＝C＝右边．[B组　能力提升]11．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m等于(　　)A．5B．6C．7D．8解析：由二项式系数的性质知，二项式(x＋y)2m的展开式中二项式系数的最大值有一项，即C＝a，二项式(x＋y)2m＋1的展开式中二项式系数的最大值有两项，即C＝C＝b，因此13C＝7C，所以13·＝7

8、·，所以m＝6.答案：B12．若n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为________．解析：∵n展开式的二项式系数之和为2n，∴2n＝64，∴n＝6.∴Tr＋1＝Cx6－rr＝Cx6－2r.由6－2r＝0得r＝3，∴其常数项为T3＋1＝C＝20.答案：2013．已知(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…