2020版高中数学第一章计数原理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质练习（含解析）新人教A版

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1、1.3.2　“杨辉三角”与二项式系数的性质课时过关·能力提升基础巩固1已知(a+b)n展开式中只有第5项的二项式系数最大,则n等于(　　)A.11B.10C.9D.8解析:∵只有第5项的二项式系数最大,∴n2+1=5.∴n=8.答案:D2(a+b)n二项展开式中与第(r-1)项系数相等的项是(　　)A.第(n-r)项B.第(n-r+1)项C.第(n-r+2)项D.第(n-r+3)项解析:因为第(r-1)项的系数为Cnr-2=Cnn-r+2,所以第(n-r+3)项与第(r-1)项的系数相等.答案:D3若x

2、+1xn展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为(　　)A.10B.20C.30D.120解析:由2n=64,得n=6,则Tk+1=C6kx6-k1xk=C6kx6-2k(0≤k≤6,k∈N).由6-2k=0,得k=3,则T4=C63=20.答案:B4若(x+3y)n的展开式的系数和等于(7a+b)10展开式中的二项式系数之和,则n的值为(　　)A.5B.8C.10D.15解析:(7a+b)10展开式的二项式系数之和为210,令x=1,y=1,则由题意知,4n=210,解得n=5.答案:A5若3

3、x-13x2n的二项式系数之和为128,则展开式中含1x3的项是(　　)A.7x3B.-7x3C.21x3D.-21x3解析:由3x-13x2n的二项式系数之和为128可得2n=128,n=7.其通项Tk+1=C7k(3x)7-k-13x2k=(-1)kC7k·37-kx7-5k3,令7-5k3=-3,解得k=6,此时T7=21x3.答案:C6已知Cn0+2Cn1+22Cn2+…+2nCnn=729,则Cn1+Cn3+Cn5的值等于(　　)A.64B.32C.63D.31解析:由已知(1+2)n=3n=

4、729,解得n=6.则Cn1+Cn3+Cn5=C61+C63+C65=32.答案:B7如图是一个类似杨辉三角的递推式,则第n行的首尾两个数均为　　　　　. 解析:由于每行第1个数1,3,5,7,9…成等差数列,由等差数列的知识可知,an=2n-1.答案:2n-18设(2x-3)10=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a10(x-1)10,则a0+a1+a2+a3+…+a10=　　　　　. 解析:令x=2,则(2×2-3)10=a0+a1+a2+…+a10,所以a0+a1+…+a10=1.答案:

5、19如图,在杨辉三角中,虚线所对应的斜行的各数之和构成一个新数列{an},则数列的第10项为　　　　　. 解析:由题图可知a1=1,a2=1,a3=2,a4=3,…,从第三项开始每一项为前两项之和,a10=a9+a8=2a8+a7=3a7+2a6=5a6+3a5=8a5+5a4=13a4+8a3=21a3+13a2=42+13=55.答案:5510设(2-3x)100=a0+a1x+a2x2+…+a100x100,求下列各式的值.(1)a0;(2)a1+a2+a3+a4+…+a100;(3)a1+a3+

6、a5+…+a99;(4)(a0+a2+…+a100)2-(a1+a3+…+a99)2;(5)

7、a0

8、+

9、a1

10、+…+

11、a100

12、.解:(1)令x=0,则展开式为a0=2100.(2)令x=1,可得a0+a1+a2+…+a100=(2-3)100,(*)所以a1+a2+…+a100=(2-3)100-2100.(3)令x=-1,可得a0-a1+a2-a3+…+a100=(2+3)100,与(2)中(*)式相减得a1+a3+…+a99=(2-3)100-(2+3)1002.(4)原式=[(a0+a2+…+a

13、100)+(a1+a3+…+a99)][(a0+a2+…+a100)-(a1+a3+…+a99)]=(a0+a1+a2+…+a100)·(a0-a1+a2-a3+…+a98-a99+a100)=[(2-3)(2+3)]100=1100=1.(5)因为Tr+1=(-1)rC100r2100-r(3)rxr,所以a2k-1<0(k∈N*).所以

14、a0

15、+

16、a1

17、+

18、a2

19、+…+

20、a100

21、=a0-a1+a2-a3+…+a100=(2+3)100.11若(2x-3y)10=a0x10+a1x9y+a2x8y2

22、+…+a10y10,求:(1)各项系数之和;(2)奇数项系数的和与偶数项系数的和.解:(1)各项系数之和即为a0+a1+a2+…+a10,可用“赋值法”求解.令x=y=1,得a0+a1+a2+…+a10=(2-3)10=(-1)10=1.(2)奇数项系数的和为a0+a2+a4+…+a10,偶数项系数的和为a1+a3+a5+…+a9.由(1)知a0+a1+a2+…+a10=1,①令x=1,y=-1,得a0-a1+a2-a3+…+a10=510