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1、第一讲极限与连续一、单调数列的极限在学习数列极限过程中，有一类数列是由递推式xn1f(xn)，(n1,2，)确定的，对这类数列常用“单调有界的数列，必有极限”的数列极限存在准则来判断极限的存在性，并求出它的极限值。1.递推数列xn1f(xn)，(n1,2，)单调性的判断：(i)若f(x)0,则数列{xn}(n1,2，)是单调的，当x1x2,数列{xn}单调不减，当x1x2,数列{xn}单调不增；()若f(x)0,则数列{xn}(n1,2，)不是单调的，但它的两个子列：奇子列{x2n-1}(n1,2，)和偶子列{
2、x2n}(n1,2，)却是单调的，并具有相反的单调性，即当x1x3时,数列{x2n-1}就单调不减，{x2n}单调不增，反之当x1x3时,数列{x2n-1}单调不增，{x2n}就单调不减。.递推数列xn1，，)有界性的证明常借助于均值不等式f(xn)(n1,2x1x2xnx1x2xnn和数学归纳法，或利用函数极值的求法，求出f(x)的最大值或最小值。此最值就是数列的上界和下界。.求极限。()由数列的单调有界性，利用极限运算法则，在递推式的两端取极限Alimxn1limf(xn)，解方程Af(A)，即可求得极限。
3、nn()若两子列的极限limx2n-1，limx2n-1存在且相等，则数列limxn存在。nnn1/11例1设x10，xn1a1xn，，)，其中a是不超过的常数，求使1xn(n1,2数列{xn}收敛的a值，并计算此时的limxn。n解：假设limxnA,则令n对递推式两边取极限得Aa1A,即n1AA2a1，所以当a1时，limxn才能存在。下面考虑1a2的情况。n显然对任意的正整数n有0xna1xna21,即数列{xn}有界。11xn1xn1令f(x)a1x(0x1),由于f(x)2a0，所以{xn}单调且有界
4、，故(1x)21xlimxn存在，其极限Aa1.即当1a2时，{xn}收敛，且limxna1.nn例设二元函数F(x,y)1(yx)，且F(1,y)y2y5。又设x1，2x20xn1F(xn,2xn)(n1,2，)。()证明：数列{xn}收敛；()求limxn。n解：()由(y1)y2y5得(y)y29，所以F(x,y)(yx)29F(1,y)2222x因此数列{xn}的递推式为x10，xn1xn29(n1,2，)。2xn显然xn0，由均值不等式知xn1xn29xn293，即有{xn}下界。2xnxn令f(x)
5、x29(x3),由于f(x)x2290，所以{xn}单调。又因为2x2xx3x2x2299x2202x2x22x2知{xn}单调不增，因此{xn}收敛。()记limxnA3,令n对递推式两边取极限得AA29,即A3，所n2A以limxn3.n2/11例.设x，0，xn1x(2ax)，(n1,2，)，证明数列{xn}收敛且a0，10x2且nnlimxn1。an解：记f(x)x(2ax),这是一条抛物线，它的最大值为1a，由数学归纳法知0xn1xn(2axn)1，(n2,3，)，即{xn}有界。又因为f(x)2a(
6、1x)0，aa0x1，A0,令n对递推式两边取极限得得数列{xn}收敛。记limxnanAA(2aA),即A11，所以limxn.ana例设x1a(0a1),xn1axn2，(n1,2，)，求limxn.222n解：易知0xna(n1,2，),即数列{xn}有界。又因为f(x)(ax2),且222f(x)(ax2)x0,知数列{x}不是单调的，但x3x1x220,所以奇子22n2列{x2n-1}是单调不增的，偶子列{x2n}，都存在。是单调不减的。故limx2nlimx2n-1nnalimx22naA2aB2分
7、别记其极限为A,B，令limx2n1n得B,同时又成立A，n222所以AB,故nlimxn存在.且满足AaA2，则nlimxnA1a-1.2举一反三练习：.设0x13,xn1xn(3xn)，(n1,2，),()证明:数列{xn}收敛；()求limxn。n3)(2x2xn121，，)limxn(12).设,(n1,2,求。1xnn3/11二、利用等价无穷小代换求极限.常见的等价无穷小：x0时，sinx~x,tanx~x,arcsinx~x,arctanx~x,ex-1~x,ln(1x)~x,(1x)-1~x(0)
8、,1cosx~1x2。2推广：当x在某种趋近方式下，有(x)0时，将上面八个式子中的x全部替换成(x),等价式子仍然全部成立。(2cosx)x1例求极限lim3。x0sin(1x31)解：当x0时，(2cosx)x1e11~xln[11(1cosx)]~x(1cosx)~33(1cosx)]x;xln[13336sin(1x31)~1x31~1x3，2(2cosx)x1x31故lim3
