数列的单调性与极限毕业论文

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1、数学分析中一类递推数列的单调性与极限张荣权（2）（安徽师范大学数学与计算机学院安徽芜湖）摘要:数列是高中代数的重点之一,也是高考的考查重点,在近十年高考试题中占有较大的比重。这些试题不仅考查数列,等差数列和等比数列,数列极限的基础知识、基本技能、基本思想和方法,以及数学归纳法这一基本方法,而且有效地测试逻辑推理能力、运算能力,以及运用有关的知识和方法,分析问题和解决问题的能力。同样数列在高等数学中也有很重要的地位，它是后续学习一系列相关定理的基础。本文从一类递推数列入手,对其递推公式进行分析,进而研究一类递推数列的单调性与收敛性问题,同时也推广与包含

2、了近期一些文献中的结果。关键词：递推数列；单调性；不动点；收敛。TheLimitsandMonotonicityofaRecursiveSequenceinMathematicalAnalysisZhangRong-quan(DepartmentofMathematicsandStatistics,AnhuiNormalUniversity,Wuhui,Anhui,,China)Abstract:Thesequenceisthefocusofthehighschoolalgebrais-10-oneofthecollegeentranceexamin

3、ationexaminationofkey,inrecenttenyearsinhighhavealargeproportionoftheexamination.Thesequestionsnotonlyexaminesthesequence,eachdigitandcomparesthesequence,thefoundationofthesequencelimitknowledge,basicskills,basicthoughtsandmethods,aswellasthebasicmathematicalinductionmethod,and

4、effectivelytestlogicalreasoningability,operationability,andtheuseofrelevantknowledgeandmethods,theabilitytoanalyzeandsolveproblems.Thesamesequenceinthehighermathematicsisveryimportantintheposition,itisthefollow-upstudyaseriesofrelatedtheoremfoundation。Thisarticlefromsomerecursi

5、onsequenceofrecursiveformula,theanalysisandstudy,somerecursionsequencemonotonicityandconvergenceproblem,alsocontainsomerecentpromotionanddocumentsoftheresults。Keywords:recursivesequence;monotonicity;fixedpoint;convergence.-10-1引言在近期的一些文献中,讨论了形如（）的递推数列的极限问题[1-7],这类数列的极限问题经常出现在研究

6、生入学试题与大学数学考试试题中,在高等数学中占有重要的地位.研究结果表明,这类递推数列极限的存在性与求法往往与它的迭代函数的不动点相关联,该递推数列的迭代函数为,注意到不变号,它启发我们从迭代函数的不动点与导函数的不变号两方面考虑这类问题.本文将给出联系迭代函数的不动点与导函数的几个实用命题,把现行文献[1-7]中的相关结论进行拓广,通过这些命题使我们可以统一处理有关例子,揭示这类试题的背景与思想方法.2命题与证明定义1[1]　对于函数,若数列满足,,,则数列称为递推数列,称为数列的迭代函数,称为初始值.命题1[1]设函数在上连续,在上可导,且,,-

7、10-.设,则递推数列（）收敛.证明只需证明数列单调有界,可用归纳法证之.1ο当时,由于,,因此,又,所以,而,故有,从而结论成立.2ο假设当时,结论成立,即.当时,由于,则有,即得,也即,从而当时,结论成立.故命题1得证.命题2[1]设函数在上连续,在上可导,且,,.设,则递推数列（,）收敛.证明类似于命题1,可以证明数列单调递减并且有界,即，从而数列收敛.-10-定义2[1]　对于函数,若存在实数,使,则称为的不动点.注:在命题1,命题2的条件下,若还满足“在上有唯一的不动点”条件,易知数列必收敛于该不动点.事实上,在满足所给条件的情况下,由数学

8、分析[8]中的确界原理及上确界的定义,对于命题1中的数列,必为其上确界.任给,按上确界的定义,存在数列中的某