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1、一类递推数列的单调性与极限（孝感学院数学与统计学院湖北孝感）摘要:本文讨论了一类递推数列的单调性与收敛性问题,同时也推广与包含了近期一些文献中的结果.关键词：递推数列；单调性；不动点；收敛TheLimitsandMonotonicityofaRecursiveSequenceXIAYu-cheng(DepartmentofMathematicsandStatistics,Xiaoganuniversity,Xiaogan,Hubei,China)Abstract:Inthispaper,theresultsonthemonoto
2、nicityandconvergenceoftherecursivesequenceinsomeresentdocumentsaregiven,andthen,theresultsaregeneralized.Keywords:recursivesequence;monotonicity;fixedpoint;convergence.-9-1引言及定义在近期的一些文献中,讨论了形如（）的递推数列的极限问题[1-7],这类数列的极限问题经常出现在研究生入学试题与大学数学竞赛试题中,在高等数学中占有重要的地位.研究结果表明,这类递推
3、数列极限的存在性与求法往往与它的迭代函数的不动点相关联,该递推数列的迭代函数为,注意到不变号,它启发我们从迭代函数的不动点与导函数的不变号两方面考虑这类问题.本文将给出联系迭代函数的不动点与导函数的几个实用命题,把现行文献[1-7]中的相关结论进行拓广,通过这些命题使我们可以统一处理有关例子,揭示这类试题的背景与思想方法.定义1 对于函数,若存在实数,使,则称为的不动点.定义2 对于函数,若数列满足,,,则数列称为递推数列,称为数列的迭代函数,称为初始值.2 命题与证明-9-命题1设函数在上连续,在上可导,且,,.设,则递推数列
4、（）收敛.证明只需证明数列单调有界,可用归纳法证之.1ο当时,由于,,因此,又,所以,而,故有,从而结论成立.2ο假设当时,结论成立,即.当时,由于,则有,即得,也即,从而当时,结论成立.故命题1得证.命题2设函数在上连续,在上可导,且,,.设,则递推数列（,）收敛.证明类似于命题1,可以证明数列单调递减并且有界,即，-9-从而数列收敛.注:在命题1,命题2的条件下,若还满足“在上有唯一的不动点”条件,易知数列必收敛于该不动点.事实上,在满足所给条件的情况下,由数学分析[8]中的确界原理及上确界的定义,对于命题1中的数列,必为其
5、上确界.任给,按上确界的定义,存在数列中的某一项,使得.又由的递增性,当时有.另一方面,由于是的一个上界,故对一切都有.所以当时有,从而.这为命题1,2的应用提供了方便.命题3设在区间上可导,,且对任意的,有.则由,确定的两个子列与分别是单调的,而且具有相反的单调性.证明 如果,则由,得,即,于是又有,,用归纳法可得奇数项子列单调增加,而偶数项子列单调减少;如果,同理可得子列单调减少,而偶数项子列单调增加.推论[1] 对于递推数列（,）,如果全为正数时,那么数列收敛,且收敛于,其中-9-,这里是方程的一个正根.证明 由于迭代函数
6、的导数.下面讨论之:（1）若,则.当时,由于是函数唯一的一个正的不动点,因而,于是是常数列,故;当与时,分别在区间与上应用命题1与命题2,得数列收敛于不动点;（2）若,则.当时,,注意到注意到,由,即,进一步有,即,…,易用数学归纳法证明:.因而,即-9-,,即与有界,故均收敛.且由分别考虑为奇,偶数对此式取极限,得,,这里是方程的一个正根;当时,类似可证;当时,有为常数列.故.（3）若,此时为常数列,结论也成立.综上可知结论成立.3相关应用下面我们给出以上命题的一些应用.例1[1-3]设,（）,求证:数列收敛,并求其极限.解数
7、列的迭代函数,,,而-9-,即,故数列在区间上满足命题1的条件,于是数列收敛.又在上有唯一的不动点,于是.例2[9]已知函数，且存在，使.设,,，,其中,证明:．证明由数列的迭代函数得,从而在区间上，由命题1的结论得，在区间上，由命题2的结论得，于是有．证毕．例3已知数列满足，，，.猜想数列的单调性，并证明你的结论.解 与分别单调，但不具有单调性．下面证明之．因为数列的迭代函数为，从而其导函数，-9-又由计算得,,,,显然有,从而根据命题3的结论知,由确定的数列的子列为单调递增数列,为单调递减数列，而不具有单调性.例4[4]设,
8、,,（）,求证:.证明 设（）,则,仿推论有,,,即与有界,故均收敛.设,,,又,亦由推论得.故.-9-最后我们指出,应用本文的三个命题及推论,可以较为简单的解决文献[1,2,3,6]中所有例子与结果,以及文献[4,5,7]中大部分结果.-9-[参考文献][1]
