一类递推数列问题的解决与延伸

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1、一类递推数列问题的解决与延伸湖南省南县一中陈敬波(413200)已知数列{an},a1=a,an+1=pan+q(p≠1,q≠0是常数),求数列{an}的通项公式an,是高中常见的递推数列问题.这类数列通常可转化为，或消去常数转化为二阶递推式，或归纳猜想证明.例１.已知数列中，,求的通项公式．解析:解法一．（待定系数法）转化为型递推数列．∵∴又，故数列｛｝是首项为２，公比为２的等比数列．∴，即．解法二．（差分法形成差数列）转化为型递推数列．∵=2an+1(n≥1)　　①　　∴=2an+1+1　　②②－①，得(n≥1)，故｛｝是首项为

2、a2-a1=2，公比为２的等比数列，即，再用累加法得．解法三．用迭代法．解法四.归纳猜想证明法．,猜想：.用数学归纳法证明(证明略).这类递推数列解决后,其他类型的递推可以转化并解决.类型一:这类数列可变换成，令，则转化为型.例2.设数列求数列的通项公式．解析:∵，两边同除以，得．令，则有．于是，得，∴数列是以首项为4，公比为的等比数列，故，即，从而．类型二:若取倒数,得，令，从而转化为型.例3.已知数列中满足，，求数列的通项.解：数列中，，，即数列是以公差为3的等差数列.类型三:这类数列可取对数得，从而转化为数列.例4.已知数列中满

3、足，求数列的通项.解:，是以为首项,5为公比的等比数列.类型四:可转化为例５.设数列求数列的通项公式．4分析:设法把分给.转化为解:由可得设故即用累加法得　解决这类问题,还可使用下面的定理定理:在数列中，，为初始值．它的特征方程的两根为，则（１）当时，；（２）当时．（证明略）解法2:递推关系对应的特征方程为:则由得:例６:在数列求数列的通项公式．解:令使数列是以为公比的等比数列(待定)．即∴对照已给递推式，有4即的两个实根．从而∴　　①或　　②由式①得；由式②得．消去．4