高数D7-7极值与最值.ppt

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1、第七章第七节一、多元函数的极值二、条件极值、拉格朗日乘数法多元函数的极值及其求法一、多元函数的极值定义7.7.1:若函数则称函数在该点取得极大值(极小值).例如:在点(0,0)有极小值;在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.的某邻域内有1、多元函数取得极值的充分和必要条件说明:使偏导数都为0的点称为驻点.例如,定理7.7.1(必要条件)函数偏导数,证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.取得极值,取得极值取得极值但驻点不一定是极值点.有驻点(0,0),但在该点不取极值.且在该点取得极值,则

2、有存在故时,具有极值定理7.2.2(充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且令则:1)当A<0时取极大值;A>0时取极小值.2)当3)当证明见附录7.11.3.时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数例1.求函数解:第一步求驻点.得驻点:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判别.在点(1,0)处为极小值;解方程组的极值.求二阶偏导数在点(3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.在点(1,2)处不是极值;例2.求由方程所确定的隐函数的极值.解：令由得代入原方程得可能的极值点利用隐函数高阶偏导数的求法在处，所以且故在

3、处，同样有且故例3.讨论函数及是否取得极值.解:显然(0,0)都是它们的驻点,在(0,0)点邻域内的取值,因此z(0,0)不是极值.因此为极小值.正负0在点(0,0)并且在(0,0)都有可能为2、最值应用问题函数f在闭域上连续函数f在闭域上可达到最值最值可能点驻点边界上的最值点特别,当区域内部最值存在,且只有一个极值点P时,为极小值为最小值(大)(大)依据例4.解:设水箱长,宽分别为x,ym,则高为则水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?

4、因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为高为时,水箱所用材料最省.例5.有一宽为24cm的长方形铁板,把它折起来做成解:设折起来的边长为xcm,则断面面积x24一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为,积最大.为问怎样折法才能使断面面令解得:由题意知,最大值在定义域D内达到,而在域D内只有一个驻点,故此点即为所求.二、条件极值极值问题无条件极值:条件极值:条件极值的求法:方法1代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制例如,转化方法2拉格朗日乘数法.如方法1所述,则问题等价于一元函数可确定隐函数的极值问

5、题,极值点必满足设记例如,故故有引入辅助函数辅助函数F称为拉格朗日(Lagrange)函数.利用拉格极值点必满足则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.设解方程组可得到条件极值的可能点.例如,求函数下的极值.在条件例6.求原点到曲面的最短距离.解：已知曲面上任一点到原点的距离令则本题转化为求在条件下的条件极值用拉格朗日乘数法，作辅助函数由方程组解得其中及为可能的条件极值点，且根据题意，最短距离存在，因此所求最短距离为例7.要设计一个容量为则问题为求x,y,令解方程组解:设x,y,z分别表

6、示长、宽、高,下水箱表面积最小.z使在条件水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱,试问得唯一驻点由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的2倍时，所用材料最省.因此,当高为思考:1)当水箱封闭时,长、宽、高的尺寸如何?提示:利用对称性可知,2)当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时,欲使造价最省,应如何设拉格朗日函数?长、宽、高尺寸如何?提示:长、宽、高尺寸相等.例8.求函数在区域上的最大和最小值.解：据有界闭域上连续函数的性质，函数在区域上必有最大值和最小值.先讨论在内的极值点，由得在内的驻点为且再讨论函数在边界上的条件极值.记则函数在边界上再

7、讨论函数在边界上的条件极值.作辅助函数由方程组解得且又函数在区域上的最大、最小值必在内极值点或边界上可能的条件极值点取得，在区域上的最大值为故所求函数最小值为内容小结1.函数的极值问题第一步利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步利用充分条件判别驻点是否为极值点.2.函数的条件极值问题(1)简单问题用代入法如对二元函数(2)一般问题用拉格朗日乘数法设拉格朗日函数如求二元函数下的极值,解方程组第二步判别•比较驻点及边界点上函数值的大小•根据问题的实际意义确定最值第一步找目标函数,确定定义域(及约束条件)3.函数的最值问题在条件求驻点.求z=x3+y3在D

8、：x2+y2≤1上的最大值和最小值。思考与练习最大值