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1、二、最大值与最小值问题一、函数的极值及其求法第二节机动目录上页下页返回结束函数的极值与最大值最小值第三章一、函数的极值及其求法定义:在其中当时,(1)则称为的极大点,称为函数的极大值;(2)则称为的极小点,称为函数的极小值.极大点与极小点统称为极值点，极大值与极小值统称为极值.机动目录上页下页返回结束例如(P96引例)为极大点,是极大值是极小值为极小点,机动目录上页下页返回结束定理1(极值的必要条件)定义：使得的x0称为驻点。函数在定义域中的驻点和不可导点统称为极值可疑点。为极大点为极小点不是极值点机动目录
2、上页下页返回结束注意:2)对常见函数,极值可能出现在导数为0或不存在的点.1)函数的极值是函数的局部性质.定理2(极值第一判别法)且在空心邻域内有导数,(1)“左正右负”,(2)“左负右正”,机动目录上页下页返回结束(3)“左右同号”,求连续函数极值的步骤：机动目录上页下页返回结束例1.求函数的极值.解:1)求导数2)求极值可疑点令得令得3)列表判别是极大点，其极大值为是极小点，其极小值为机动目录上页下页返回结束定理3(极值第二判别法)二阶导数,且则在点取极大值;则在点取极小值.证:(1)存在由第一判别法知
3、(2)类似可证.机动目录上页下页返回结束例2.求函数的极值.解:1)求导数2)求驻点令得驻点3)判别因故为极小值;又故需用第一判别法判别.机动目录上页下页返回结束定理4(判别法的推广)则:数,且1)当为偶数时,是极小点;是极大点.2)当为奇数时,为极值点,且不是极值点.当充分接近时,上式左端正负号由右端第一项确定,故结论正确.机动目录上页下页返回结束证:利用在点的泰勒公式,可得例如,例2中所以不是极值点.极值的判别法(定理2~定理4)都是充分的.说明:当这些充分条件不满足时,不等于极值不存在.例如:为极大值
4、,但不满足定理1~定理3的条件.机动目录上页下页返回结束二、最大值与最小值问题则其最值只能在极值点或端点处达到.求函数最值的方法:(1)求在内的极值可疑点(2)最大值最小值机动目录上页下页返回结束特别:当在内只有一个极值可疑点时,当在上单调时,最值必在端点处达到.若在此点取极大值,则也是最大值.(小)对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大值点或最小值点.(小)机动目录上页下页返回结束例3.求函数在闭区间上的最大值和最小值.解:显然且故函数在取最小值0;在及取最大值5.机动目录上页下页返回结
5、束因此也可通过例3.求函数说明:求最值点.与最值点相同,由于令(自己练习)在闭区间上的最大值和最小值.机动目录上页下页返回结束(k为某一常数)例4.铁路上AB段的距离为100km,工厂C距A处20AC⊥AB,要在AB线上选定一点D向工厂修一条已知铁路与公路每公里货运价之比为3:5,为使货D点应如何选取?20解:设则令得又所以为唯一的极小点,故AD=15km时运费最省.总运费物从B运到工厂C的运费最省,从而为最小点,问Km,公路,机动目录上页下页返回结束例5.要做一个上、下均有底的圆柱型容器，容积是常量V0，
6、问底半径r为多大时，容器表面积最小？解:设容器的高为h，则容器的表面积又因为令得得目标函数机动目录上页下页返回结束故表面积最小，为.例6.一个顶角为900的圆锥形内盛有V0L水，现往里灌水，从时刻t＝0到时刻t时灌入的水量为at2(a>0)L，问何时水深h上升的速度最快？解:设经过时间t，水深为h，水面半径为r，则水的体积为又因为得机动目录上页下页返回结束得目标函数机动目录上页下页返回结束令得唯一驻点由题意，目标函数的最大值存在，且驻点唯一，故时，水深h上升的速度最快。例7.某工厂生产电视机，固定成本a元，
7、每生产一台电视机，成本增加b元，已知总收益R是年产量x的函数。机动目录上页下页返回结束问每年生产多少台时，总利润最大，为多少？解:根据题意总成本C是年产量x的函数，得总利润=总收益－总成本所以L（x）有唯一驻点x＝3b所以当年产量x＝3b时，总利润最大，为内容小结1.连续函数的极值(1)极值可疑点:使导数为0或不存在的点(2)第一充分条件过由正变负为极大值过由负变正为极小值(3)第二充分条件为极大值为极小值(4)判别法的推广(Th.3)定理3目录上页下页返回结束最值点应在极值点和边界点上找;应用题可根据问题
8、的实际意义判别.思考与练习2.连续函数的最值1.设则在点a处().的导数存在,取得极大值;取得极小值;的导数不存在.B提示:利用极限的保号性.机动目录上页下页返回结束2.设在的某邻域内连续,且则在点处(A)不可导;(B)可导,且(C)取得极大值;(D)取得极小值.D提示:利用极限的保号性.机动目录上页下页返回结束3.设是方程的一个解,若且则在(A)取得极大值;(B)取得极小值;(C)在某邻域内单调增加;(D)在某
