高数微积分极值与最值.ppt

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1、第八节多元函数的极值与最值1实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖元，外地牌子的每瓶卖元，则每天可卖出瓶本地牌子的果汁，瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？每天的收益为求最大收益即为求二元函数的最大值.一、问题的提出2二、多元函数的极值31、二元函数极值的定义4例1例２例３52、多元函数取得极值的条件证:6仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.驻点极值点(具有偏导数的函数)注意：7偏导数不存在的点也可能是函数的

2、极值点。例如：不存在。也不存在，所以，与一元类似要想研究极值需找出所有驻点导数不存在的点。温馨提示：但是极大值点。问题：如何判定一个驻点是否为极值点？89对这一定理不作证明,仅介绍它的记忆之法:10解111213实例：小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买张磁盘，盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为．设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果．问题的实质：求在条件下的极值点．三、条件极值、拉格朗日乘数法14条件极值：对自变量有附加条件的极值．解决办法：（1）化为无条件极值（用

3、代入法）（2）直接求极值。（拉格朗日乘数法）无条件极值：对自变量除了限制在定义域内以外，并无其他条件.15一些较简单的条件极值问题可以把它转化为无条件极值来求解——降元法，但这种方法需要经过解方程和代入的手续，对于较复杂的方程就不容易作到，有时甚至是不可能的解决条件极值问题的一般方法是Lagrange乘数法——升元法求z=f(x,y)其几何意义是其中点(x,y)在曲线L上16假定点P(x0,y0)为条件极值点在(x0,y0)的某个邻域内且不同时为0f(x,y)可微确定了一个隐函数y=y(x)故z=f[x,y(x)]在P(x0,y0)处取

4、得极值故即又由隐函数的微分法知17代入上式令得P(x0,y0)为条件极值点的必要条件为1819xyzoz=f(x,y)LM无条件极值点.P条件极值点.2021例5求内接于椭球的最大长方体的体积,长方体的各面平行于坐标面解一设内接于椭球且各面平行于坐标面的长方体在第一卦限的顶点的坐标为(x,y,z)则长方体的体积为V=8xyz令22解得或两式相除同理即代入解得三式分别乘以x,y,z后相加得23解二任意固定z0(0

5、的长方形当长方形的边长分别为（一元函数极值问题）24长方形面积最大得到高为2z0的长方体中最大体积为V(z0)最大这时长方体在第一卦限的顶点的坐标为解三作变换问题变成在下求XYZ的最大值易知为立方体25解四即求的最大值而此三个正数的和一定（=1）当积最大26将给定的正数m分成三个非负数x,y,z之和其中a,b,c为给定的正数例6解令D为平面x+y+z=m在第一卦限的部分由于在D的边界上，总有u=0而在D内有u>0且u在D上连续，故必存在最大值，且一定在D内取得另一方面由于u和lnu在D内有相同的极值点故问题转化为求lnu在条件x+y+z

6、=m下的极值。27令则与x+y+z=m联立解得28注:拉格朗日函数分别对各自变量及拉格朗日乘数求偏导数，并令其为零。29有界闭区域上连续函数求最值的一般方法：将函数在D内的所有驻点和不可导点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.四、多元函数的最值、30求最值步骤：1、求D内驻点和不可导点。2、求边界上的条件极值点（用代入法或拉格朗日乘数法）3、求边界的边界上的最值疑点。4、计算这些点的函数值，比较大小，最大的为最大值，最

7、小的为最小值。31解如图,3233解由343536注：要求函数在D上的最大值和最小值往往相当复杂，在通常遇到的实际问题中，如果根据问题的性质，可以判断出该函数的最值一定在D的内部取得，而函数在D内又只有一个驻点，可判定该点即为所求最值点。37解则38解394041可得即42多元函数的极值拉格朗日乘数法（取得极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值小结43思考题44思考题解答45选择题已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续,则(A)点(0,0)不是f(x,y)的极值点.(B)点(0,0)是f(x,y)的极大值点.(C)点(0,

8、0)是f(x,y)的极小值点.(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点.练习：46在（0，0）的任何邻域内都有大于0和小于0的点，所以不是极值点47解(1)求函数在D内的驻点由于所以