高等数学函数单调性与极值.ppt

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1、3.4函数单调性与极值3.4.1函数的单调性3.4.2函数的极值3.4.3函数的最值3.4.1函数的单调性定理3.8证应用Lagange定理,得单调区间的求法有些函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调．定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.注意1：导数等于零的点和不可导点，都可能是单调区间的分界点．注意2:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.求法：例1求函数解函数f(x)的定义域为(-，+)增减减增单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.例2解例3.证明证

2、:令即且例4.证明不等式证:思考与练习上则或的大小顺序是()提示:利用单调增加,及B1.设在.确定函数的单调区间.解:令得故的单调增区间为的单调减区间为3.4.2函数的极值注意:1、函数的极值是一个局部性的概念。2、函数在间断点和不可微但连续的点也可能取得极值。3、可微函数极值点处导数为0。4、极值点不能取值在区间端点。定理3.9(必要条件)注意:例如,则f(x)在x0处取得极大值；定理3.10(第一充分条件)(是极值点情形)(1)如果x(x0-，x0),有而x(x0，x0+),有(2)如果x(x0-，x0

3、),有而x(x0，x0+),有则f(x)在x0处取得极小值；(3)如果当x(x0-，x0)及x(x0，x0+)时,符号相同,则在处x0无极值.求极值的步骤:(不是极值点情形)例6求函数解函数的定义域为(-，+)，增减增增极大极小x=0，x=1是函数的连续但不可导点，当函数在驻点处的二阶导数存在且不为零时，也可以利用定理3.11来判别在驻点处是取极大值还是取极小值.定理3.11(第二充分条件)设在处具有二阶导数,且则(1)当时函数在处取得极大值;(2)当时函数在处取得极小值.证例7求函数f(x)=-x4+

4、2x2的极值.解定义域：(-，+)，驻点为x1=-1，x2=0，x3=1函数的极大值为f(-1)=1，f(1)=1极小值为f(0)=0.定理3.12设f(x)在U(x0,)内具有n阶连续导数，且则(2)当n为奇数时，f(x0)不是极值；(1)当n为偶数时，f(x0)是极值；f(x0)为极大值，f(x0)为极小值.例3求f(x)=(x2-1)3+1的极值.解驻点x1=-1,x2=0,x3=1f(-1)=f(1)=1不是极值.f(0)=0是极小值.定理3.12设f(x)在U(x0，)内具有n阶导数，且则(2)当n为

5、奇数时，f(x0)不是极值；(1)当n为偶数时，f(x0)是极值；f(x0)为极大值，f(x0)为极小值.例3求f(x)=(x2-1)3+1的极值.解驻点x1=-1,x2=0,x3=1f(-1)=f(1)=1不是极值.f(0)=0是极小值.3.4.3函数的最值求一个函数y=f(x)在区间[a,b]上的最值,只需将函数在该区间的不可导点的值、驻点的值以及端点的值进行比较即可.例9求函数y=2x3+3x2–12x+14的在[–3,4]上的最大值与最小值.解计算比较得例10证在讨论许多实际问题时，下面两个结论是有用的：第一，

6、f(x)C[a,b],在(a,b)内可导,第二，f(x)C[a,b],在(a,b)内可导,一个极值,若该极值是极大值，则它就是最大值，若该极值是极小值，则它就是最小值。在(a,b)内只有2实际问题最值的求解步骤:(1)建立目标函数;给出该函数的实际问题的定义域.(2)求驻点;若目标函数在给出的定义域上只有唯一驻点，且根据问题的性质就可以断定，该可导的目标函数确有最大值或最小值，而且一定在定义区间内部取得，则可以直接断定该点的函数值即为所求的最大值或最小值.例11求单位球的内接正圆锥体的最大体积以及取得最大体积时锥体

7、的高.解设球心到锥体底面垂线长x，圆锥体的体积为：(0

8、)L最大(27)=224(万元)，此时p=16(万元).练习3在曲线上求一点P,使曲线在P点的切线与两坐标轴所围成的三角形面积最小.解设P点为则过P点的切线方程为得所求三角形的面积为是S(x)的极小值，也是最小值，练习1练习2练习3练习4铁路线上AB段上的距离为100km.工厂C距A处为20km，AC垂直于AB，为了运输需要，要在