高等数学_函数的单调性与极值.ppt

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1、第一节函数的单调性与极植二、函数的极值及其求法第四章一、函数单调性的判定法一、函数单调性的判定法函数的单调性与导数的符号有关1.单调区间的判定法定理4.1(1)若对于任意的则f(x)在[a,b]上单调增加;在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，设(2)若对于任意的则f(x)在[a,b]上单调减少.证(1)任取根据拉格朗日中值定理，得故因此在[a,b]上单调增加.注1°解例1(<)(减少)例如，①②注2°(<)(减少)事实上，定理4.1可推广为：定理4.1例2解2.单调区间的确定法讨论f

2、(x)单调性的步骤：例3确定函数的单调区间.解1°确定定义区间2°求驻点及导数不存在的点令得驻点：导数不存在的点：3°列表判别故的单调增区间为的单调减区间为3.应用(1)证明不等式证例4从而推论(1)若则在(a,b)内f(x)>g(x);在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，设(2)若则在(a,b)内f(x)>g(x).此推论可用来证明函数不等式.(2)方程根的确定思路：方程：xyOx1x2x3解:设则例例5解xyOxyOxyO二、函数的极值及其求法1.定义4.1总有若当则称为的极大值点

3、,称为f(x)的极大值;则称为的极小值点,称为f(x)的极小值.极大值点与极小值点统称为极值点.注1°2°区间端点一定不是极值点.2.极值的判定法若f(x)在x0处取得极值，且在x0处可导，则必有定理4.2(必要条件)例如，驻点注1°2°可导函数的极值点若则称x0为f(x)的驻点.xyO驻点3°极值点如何判定极值可疑点是否是函数的极值点？极值可疑点：驻点、导数不存在(但函数有定义)的点.问题：定理4.3(第一充分条件)对设函数在内连续，(1)若当时，当时，则f(x)在处取得极大值；(3)若的符号保持不

4、变，(2)若当时，当时，则f(x)在处取得极小值；则f(x)在处没有极值.例如例3中函数是极小值点，其极小值为是极大值点，其极大值为求极值的步骤:解例6+-++充分条件，极值的判定法1(定理4.3)是注不是必要的.定理4.4(第二充分条件)则在点处取得极大值;则在点处取得极小值.二阶导数,且记忆方法：在x=0处取得极小值例7分析解=0注1º例如，xyO极值第一判定法或极值定义等其他方法，判定x0是否为极值点.2º极值的判别法2(定理4.4)也是充分条件，不是必要的.xyO例8解三、函数在闭区间上的最值

5、若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上必定存在着最大值和最小值；最大（最小）值可能在开区间(a,b)内取得，最大（最小）值可能在端点处取得;除有限个点外可导，且至多在有限个点处导数为零，此时最大（最小）值必是f(x)的一个极大（极小）值，而且相应的点必是f(x)的驻点或不可导点；因此，求函数f(x)在[a,b]上最值的步骤如下：(1)求f(x)在（a,b）内的全部驻点和不可导点;(2)计算区间端点及驻点和不可导点的函数值；(3)比较这些函数值的大小，特别地，若f(x)在[a,

6、b]上是单调函数，值和最小值分别在区间[a,b]的两个端点处取得.最大者即为f(x)在[a,b]上的最大值.最小者最小值.那么最大四、最值问题模型举例在实际问题中,或最小值,则可以断言不再需要另行判定.必是f(x)在区间I上的最大值或如果根据问题的性质可以判断目标函数f(x)在其定义区间I的内部确有最大值而f(x)在I内可导且只有唯一的驻点最小值,试求解例1又最大值为故所求的最小值为从而解例2求证：例3解例4解1解2解例5内容小结1.可导函数单调性判别在I上严格单调递增在I上严格单调递减2.连续函数的

7、极值(1)极值可疑点:使导数为0或不存在的点(2)第一充分条件过由正变负为极大值过由负变正为极小值(3)第二充分条件为极大值为极小值内容小结1.注意最值与极值的区别最值是整体概念而极值是局部概念.最值点应在极值可疑点和边界点上找;应用题可根据问题的实际意义判别.2.连续函数的最值思考题？解反例：事实上,事实上,但因此,在x=0的任何邻域单调增加,则若不然,假设f(x)≥0(<)(>)≥0解思考题3.设在的某邻域内连续,且则在点处(A)不可导;(B)可导,且(C)取得极大值;(D)取得极小值.D提示:利

8、用极限的保号性.备用题例3-1讨论函数的单调性.解当x=0时,导数不存在，且当故的单调增区间为单调减区间为可见,讨论的单调性区间时，应以不存在的点来划分定义区间.为零及解例3-2且讨论函数的单调性.解例3-3令得故的单调增区间为的单调减区间为驻点证例4-1例4-2证证例4-3则则例4-4分析证(方法1)分析(方法2)例7-1解是极大值点，其极大值为是极小值点，其极小值为(极大)(极小)解例7-2例8-1解解例8-2代入原方程,例9-1求函数的极值.解1°