高等数学自考3.3函数的单调性与极值课件.ppt

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1、第三节函数的单调性与极值一、函数的单调性二、函数的极值三、函数的最大值和最小值一、函数的增减性判别法bayOxAB，曲线上升AaOybxB，曲线下降定理1设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，则（i）如果在(a,b)内f(x)>0，（ii）如果在(a,b)内f(x)<0，则f(x)在[a,b]上单调增加；则f(x)在[a,b]上单调减少。解例1解例2单调区间为例3证极大值与极小值统称为极值。设函数f(x)在点x0的某个邻域内有定义,对于该邻域内异于x0的点x,二、函数的极值称x0为f(x)的极大（小）值点；或（

2、f(x)>f(x0)），则称f(x0)为f(x)的极大值(或极小值）如果恒有f(x)

3、f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值，则这个函数在x0处的导数为零。即不存在的点。(iii)若在x0的两侧，f(x)不变号，定理2（极值存在的一阶充分条件）设f(x)在x0的某邻域内连续，在该邻域（x0可除外）可导，x0为f(x)的驻点或使f(x)(i)若当x0；则f(x0)是f(x)的极大值；(ii)若当xx0时，f(x)>0，当x>x0时，f(x)<0，例4求的极值点与极值。解用x=0,x=，分割定义域成几个小区间

4、定义域（-∞，+∞）列表讨论如下:f(x)0++f(x)不存在0极大值极小值x极大值点:极大值:极小值点:极小值:且f(x0)=0，f(x0)0，则（ii）当f(x0)>0时，f(x0)是f(x)的极小值。例5的极值.定理3（极值存在的二阶充分条件）设函数f(x)在点x0处具有二阶导数，（i）当f(x0)<0时，f(x0)是f(x)的极大值；令得驻点:由极值第二判别法,x=1时,f(x)有极小值:f(1)=4.由于所以,需用极值第一判别法判定:从而时,无极值.三、最大值、最小值问题（2）计算区间端点处的函数值；例6求

5、函数上的最大值与最小值。在区间1求连续函数f(x)在[a,b]上的最值：（1）计算函数驻点与不可导点处的函数值；（3）对以上两类函数值进行比较即得。令函数的不可导点为x=0,1.解得驻点函数f(x)在区间端点、驻点以及不可导点处的函数值为：比较之，得最大值：最小值：一般地说，若函数f(x)的最大(小)值是在区间(a,b)内取得，则该最大（小）值必为极大（小）值在实际问题中，往往根据问题的性质，就可断定此时，如果确定f(x)在这个区间内部只有一个驻点x0（或导数不存在的点），可导函数f(x)在其区间内部确有最大值（或最小值），那么，这个

6、点就是函数的最值点注1：注2：2实际问题中最值的求法例7如图所示为稳压电源回路，电动势为e,内阻为r,负载电阻为R，问R为多大时，输出功率最大？解：由电学知道，消耗在负载电阻R上的功率I为回路中的电流.又由欧姆定律知道则有令此实际问题应有最大值，故当输出的功率最大，