第二章振动分析基础-(1).ppt

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1、三、固有频率和主振型多自由度系统的固有频率和主振型，通过求解系统的无阴尼自由振动方程得到。多自由度系统无阻尼自由振动的运动方程为：求解方程（2-74）的问题，常称为特征值问题。要得到方程（2-74）的振动解（非零解），必须｛A｝的系数行列式等于零，即式（2-75）称为特征方程或频率方程，将特征行列式△(ω2n)展开后得到一个(ω2n)的n阶多项式，求解式(2-75)可得n个根：ω2n1，ω2n2，······，ω2nn，称为特征值，将特征值分别开方后求得的n个ω2nr(r＝1，2，······，n）称为系

2、统的n个固有频率，按大小顺序排列：ω2n1≤ω2n1≤······ω2nn，分别为一阶（基本）固有频率、2阶固有频率、……n阶固有频率。将任何一个特征值ω2nr代回方程（2-74)，都可求得一个相应的非零向量｛A(r)｝，称为特征向量，对于振动系统，一个特征向量描绘了系统振动位移的一种形态，称为主振型（主模态），主振型只与系统本身的参数有关，而与其他条件无关，所以又称为固有振型。可见，n个自由度的系统有n个固有频率和n个相应的主振型，与r阶固有频率ωnr，相应的主振型｛A(r)｝，称为r阶主振型。如图2-

3、19a所示的三自由度系统，已知。m1=m2=m3=m,k1=k4=2k，k2=k3=k，计算系统的固有频率和主振型。系统的质量矩阵和刚度矩阵为四、模态分析多自由度振动系统的各主振型间是有一定联系的，这种联系反映为主振型的正交性。主振型的正交性是多自由度系统一个十分有用的性质。上面两式表达了任意两个主振型之间的关系，式(2-86)称为主振型关于质量的正交性，式（2-87)称为主振型关于刚度的正交性。当〔m〕或〔k〕等于单位矩阵的特殊情况下，主振型的正交性就和通常向量的正交性具有同样的意义。当〔m〕是对角矩阵

4、时，将式(2-86)展开得从式（2-88)可以看出：不同主振型的振幅不会有完全相同的符号（位移方向）。设一阶主振型的振幅全部为正，则其他主振型必定有负的振幅，因而出现振幅为零的点（或线），称为节点（或节线）。正是由于主振型对质量矩阵〔m〕和刚度矩阵〔k〕都具有正交性，因此以主振型组成的矩阵作为线性变换矩阵，对系统的原运动方程进行坐标变换，可以使〔m〕和〔k〕都同时对角线化。将系统的n个主振型（主模态），每一个作为一列按阶次同时排列在一个矩阵中，组成一个n阶方阵〔φ〕，称为模态矩阵（振型矩阵），即模态矩阵式

5、(2-91)是以新广义坐标｛q｝表达的。方程(2-91)称为系统的模态方程广义质量矩阵〔M〕,简称为模态质量矩阵广义刚度矩阵〔K〕，简称为模态刚度矩阵它们都是对角矩阵模态质量矩阵为坐标变换的物理意义式（2-99）说明，广义坐标｛x｝是系统的各阶主振型的线性组合，它所包含的物理意义是：振动系统任何可能的运动都是各阶主振型按一定比例叠加起来的，某阶主振型｛A(r)｝对运动的贡献由主坐标qr决定，所以，qr相当于r阶主振型的参与因子。综上所述，应用由系统各主振型组成的模态矩阵作为变换矩阵，对原方程进行坐标变换，

6、可使质量矩阵和刚度矩阵都同时对角线化，得到一组互不藕合的模态方程，其中每一个方程的结构都和一个单自由度系统的运动方程相同，可以应用解单自由度系统的方法分别求解，从而求得多自由度系统的响应。这样一个过程，通常称为模态分析。用这种方法求得的解是系统各主振型的线性叠加，故又称为振型叠加法。模态矩阵正则化主振型只是系统各坐标振动位移的比值，其振幅是不定的，同乘以任意常数后，不会改变这个比例。因此，主坐标事实上也是不定的，可以有无限多种选择，其中最常用的一种是将模态质量矩阵正则化为单位矩阵模态质量矩阵正则化为单位矩

7、阵的条件是：当〔m〕是对角阵时，式(2-101)简化为模态矩阵模态质量矩阵模态刚度矩阵正则化因子正则模态刚度矩阵正则模态质量矩阵正则模态刚度矩阵