常微分方程-第1章.ppt

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1、绪论微分方程的基本概念ChapterI几个典例微分方程的基本概念微分方程的基本概念引例几何问题物理问题绪论引例1.一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的解:设所求曲线方程为y=y(x),则有如下关系式:①(C为任意常数)由②得C=1,因此所求曲线方程为②由①得切线斜率为2x,求该曲线的方程.引例2.列车在平直路上以的速度行驶,制动时获得加速度求制动后列车的运动规律.解:设列车在制动后t秒行驶了s米,已知由前一式两次积分,可得利用后两式可得因此所求运动规律为说明:利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能停住,以及制动后行驶了多少路程.即求s=s(t).一

2、微分方程的基本概念I常微分方程与偏微分方程定义1凡是联系自变量该自变量的未知函数及其直到阶导数在内的函数方程称为微分方程其中导数实际出现的最高阶数叫做微分方程的阶数order例如自变量为x一阶自变量为x一阶自变量为x二阶自变量为t二阶自变量为t,x,y二阶二阶自变量个数多于一个（即未知函数是多元的）Partialdifferentialequations自变量为t,x,y自变量为x,y二阶常微分方程偏微分方程(本课程主要内容)(n阶显式微分方程)一般地,n阶常微分方程形式如下分类或ExplicitPartialdifferentialequationsODE

3、sPDEsimplicitII线性与非线性若方程中的函数F对未知函数和它的各阶导数都是一次的，则称方程（1.1)为n阶线性常微分方程，（1.1）否则称为非线性的；一般，n阶线性常微分方程形如（1.2）线性非线性非线性线性III解和隐式解定义2n阶的导数.若将函数及其相应对一切都成立，则称为微分方程（1.1）在区间J上的一个解.设函数在区间J上连续，且有直到的各阶导数代入方程（1.1）后得到关于x的恒等式，即例如考虑是其在区间上的一个解；而且对任意的常数C，则是其在上述区间上的另一个解；都是方程在同样区间上的解，但是不是方程的解.又如都是方程定义3设（1.1）

4、的解包含n个独立的任意常数，则称该解为微分方程（1.1）的通解；若不包含任意常数，则称之为特解.n个任意常数是独立的，即引例2—使方程成为恒等式的函数.通解—解中所含独立的任意常数的个数与方程—确定通解中任意常数的条件.n阶方程的初始条件(或初值条件):的阶数相同.特解引例1通解:特解:微分方程的解—不含任意常数的解,定解条件其图形称为积分曲线.例1.验证函数是微分方程的解,的特解.解:这说明是方程的解.是两个独立的任意常数,利用初始条件易得:故所求特解为故它是方程的通解.并求满足初始条件则存在一个形如（1.1）的n阶微分方程,使得它的通解恰好是上述函数族.

5、。一个n阶微分方程的通解包含n个独立的任意常数。设是一个充分光滑的函数族，其中是自变量，而是n个独立的任意常数,设是方程(1.1)的通解,则利用初值条件可确定其中的任意常数。求曲线族所满足的微分方程上式对x求导两次得到：第一、二两式联立求得：代入第三式得[例2]解：微分方程有解和若关系式决定的隐函数是方程的解，则称为隐式解.上述方程的隐式解为IV积分曲线与向量场表示区域D一条光滑曲线，称之为方程的积分曲线.设D为平面上的区域，考虑微分方程方程的通解当C变动时，表示区域D的一族曲线，称之为积分曲线族.表示这一族曲线中通过点的那一条积分曲线.在D中每点处画上一个

6、斜率为我们把区域D连同上述全体线素称为由该方程定义的或线素场.方向场中方向相同的几何轨迹称为等斜线.的小线段，称为在P点的线素，而初始问题的解方向场D