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1、傅里叶级数本文意在阐述傅里叶级数是什么，如何通过数学推导得出，以及傅里叶级数代表的物理含义。1.完备正交函数集要讨论傅里叶级数首先得讨论正交函数集。如果n个函数φ1t,φ2t,…,φnt构成一个函数集，若这些函数在区间t1,t2上满足t1t2φitφjtdt=0,i≠jKi,i=j(1)如果是复数集，那么正交条件是t1t2φitφj*tdt=0,i≠jKi,i=j(2)φj*t为函数φjt的共轭复函数。有这个定义，我们可以证明出一些函数集是完备正交函数集。比如三角函数集和复指数函数集在一个周期内是完备正交函数集。先证明三角
2、函数集：设φnt=cosnωt，φmt=cosmωt,把φnt，φmt代入(1)得t0t0+Tφitφjtdt=t0t0+Tcosnωtcosmωtdt当n≠m时=12t0t0+Tcosn+mωt+cosn-mωtdt=12sinn+mωt(n+m)ω+sinn-mωt(n-m)ωt0t0+T=0(n,m=1,2,3,…,n≠m)当n=m时=12t0t0+Tcos2nωtdt=T2再证两个都是正弦的情况设φnt=sinnωt，φmt=sinmωt,把φnt，φmt代入(1)得t0t0+Tφitφjtdt=t0t0+Tsin
3、nωtsinmωtdt当n≠m时=12t0t0+Tcosn+mωt-cosn-mωtdt=12sinn+mωt(n+m)ω-sinn-mωt(n-m)ωt0t0+T=0(n,m=1,2,3,…,n≠m)当n=m时=12t0t0+Tcos2nωtdt=T2最后证明两个是不同名的三角函数的情况设φnt=cosnωt，φmt=sinmωt,把φnt，φmt代入(1)得t0t0+Tφitφjtdt=t0t0+Tcosnωtsinmωtdt=12t0t0+Tsinn+mωt-sinn-mωtdt=12-cosn+mωt(n+m)ω+
4、cosn-mωt(n-m)ωt0t0+T=0(n,m为任意整数)因为两个三角函数相乘只有以上三种情况：两个皆为余弦函数相乘；两个皆为正弦函数相乘；一个为正弦函数，另一个为余弦函数相乘；三种情况皆满足正交函数集的定义，所以三角函数集为正交函数集。至于三角函数集的完备性可以从n，m的取值为任意整数可以得出，三角函数集是完备正交函数集。证毕。由于三角函数集是完备正交函数集，而根据欧拉公式，我们容易联想到复指数函数集是否也是完备正交函数集呢。接着是复指数函数集的证明设φnt=ejnωt，φmt=ejmωt,则φj*t=e-jmωt
5、把φnt，φj*t代入(2)得t0t0+Tφitφj*tdt=t0t0+Tejnωte-jmωtdt=t0t0+Tej(n-m)ωtdt当n≠m时，根据欧拉公式=t0t0+Tcosn-mωt+jsin(n-m)ωtdt=sinn-mωtn-mω-jcos(n-m)ωtn-mωt0t0+T=0(n,m=1,2,3,…,n≠m)当n=m时，=t0t0+Te0dt=1(n,m=1,2,3,…,n=m)所以，复指数函数集也是正交函数集。因为n，m的取值范围是所有整数，所以复指数函数集是完备的正交函数集。明明是讨论傅里叶级数，为
6、什么第一部分在阐述完备正交函数集呢。因为，在自然界中，没有规则的信号，比如说找一个正弦信号，是完全不可能找到的。有的是一堆杂乱的信号，无规律的波形。我们要研究它，基本的思想是把它拆分，分解成一个一个有规律的可研究的波形，这些波形能用数学表达式准确表达出来。把一个复杂的信号分解的过程，可以理解成用已知的可以准确表达的函数表示他，比如一个复杂的信号fx。把它分解，就是fx=n1φ1t+n2φ2t+…+nnφnt其中φ1t，φ1中。的XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
7、XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
8、XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX2t，…是我们所熟悉的函数，比如二次函数，一次函数，三角函数，指数函数等等。我们的任务就是求出所分解出来的函数，以及前方的系数n，然后对其研究。那么怎么求呢。完备正交函数集给了我们提供
