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《2022版高考数学一轮复习课后限时集训34平面向量的数量积与平面向量应用举例含解析.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、课后限时集训(三十四)平面向量的数量积与平面向量应用举例建议用时:40分钟一、选择题1.(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a,b满足
2、a
3、=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=( )A.4 B.3 C.2 D.0B [a·(2a-b)=2a2-a·b=2-(-1)=3,故选B.]2.已知平面向量a=(-2,3),b=(1,2),向量λa+b与b垂直,则实数λ的值为( )A.B.-C.D.-D [∵a=(-2,3),b=(1,2),∴λa+b=(-2λ+1,3λ+2).∵λa+b与b垂直,∴(λa+b)·b=0,∴(-2λ+1,3λ+2)·(1,2)=0,即-
4、2λ+1+6λ+4=0,解得λ=-.]3.(多选)已知向量a=(1,-1),b=(2,x),设a与b的夹角为α,则( )A.若a∥b,则x=-2B.若x=1,则
5、b-a
6、=C.若x=-1,则a与b的夹角为60°D.若a+2b与a垂直,则x=3ABD [由a∥b可得x=-2,故A正确;若x=1,则b=(2,1),
7、b-a
8、=
9、(2,1)-(1,-1)
10、==,故B正确;当x=-1时,cos〈a,b〉===≠,故C错误;a+2b=(5,-1+2x),由5+(-1)(-1+2x)=0,解得x=3,故D正确.]4.(2020·武汉模拟)已知向量
11、a
12、=,向量a与b夹角为,且a·b=-1
13、,则
14、a-b
15、=( )A.B.2C.D.4A [由平面向量数量积的定义可知,a·b=
16、a
17、·
18、b
19、·cos=·
20、b
21、·=-1,∴
22、b
23、=1,∴
24、a-b
25、====.故选A.]5.若O为△ABC所在平面内任意一点,且满足(-)·(+-2)=0,则△ABC的形状为( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形A [∵(-)·(+-2)=0,∴·[(-)+(-)]=·(+)=0.设D为边BC的中点,则+=2,即·=0.由此可得在△ABC中,BC与BC边上的中线垂直,∴△ABC为等腰三角形.故选A.]6.(多选)在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,如图,则下列
26、等式成立的是( )A.
27、
28、2=·B.
29、
30、2=·C.
31、
32、2=·D.
33、
34、2=ABD [因为·=
35、
36、
37、
38、cosA=
39、
40、
41、
42、,由射影定理可得
43、
44、2=·,选项A正确;因为·=
45、
46、
47、
48、cosB=
49、
50、
51、
52、,由射影定理可得
53、
54、2=·,选项B正确;由·=
55、
56、
57、
58、cos(π-∠ACD)<0,
59、
60、2>0,知选项C错误;由题图可知Rt△ACD∽Rt△ABC,所以
61、
62、
63、
64、=
65、
66、
67、
68、,结合选项A,B可得
69、
70、2=,选项D正确.故选ABD.]二、填空题7.(2020·全国卷Ⅱ)已知单位向量a,b的夹角为45°,ka-b与a垂直,则k=________. [由题意,得a·b=
71、a
72、·
73、b
74、cos45°=.因为
75、向量ka-b与a垂直,所以(ka-b)·a=ka2-a·b=k-=0,解得k=.]8.已知平面向量a,b满足
76、a
77、=1,
78、b
79、=2,
80、a+b
81、=,则a在b方向上的投影等于________.- [∵
82、a
83、=1,
84、b
85、=2,
86、a+b
87、=,∴(a+b)2=
88、a
89、2+
90、b
91、2+2a·b=5+2a·b=3,∴a·b=-1,∴a在b方向上的投影为=-.]9.(2020·山东师范大学附属中学一模)已知向量a,b,
92、a
93、=,
94、b
95、=2,且(a-b)⊥a,则向量a和b的夹角是________,a·(a+b)=________. 6 [设向量a,b的夹角为θ,因为
96、a
97、=,
98、b
99、=2,且(a-b)
100、⊥a,所以(a-b)·a=
101、a
102、2-a·b=
103、a
104、2-
105、a
106、
107、b
108、cosθ=3-2·cosθ=0,解得cosθ=.又0≤θ≤π,所以θ=,所以a·(a+b)=
109、a
110、2+
111、a
112、·
113、b
114、·cosθ=3+2×=6.]三、解答题10.已知向量a=(1,-1),b=(sinθ,cosθ),0<θ<π.(1)若向量a∥b,求θ的值;(2)若向量a·b=,求.[解] (1)∵a=(1,-1),b=(sinθ,cosθ),∴当a∥b时,1×cosθ=(-1)×sinθ,即cosθ=-sinθ.∵θ∈(0,π),∴θ=.(2)∵a=(1,-1),b=(sinθ,cosθ),∴当a·b=时,1×s
115、inθ+(-1)×cosθ=,可得sinθ-cosθ=⇒(sinθ-cosθ)2=⇒1-2sinθcosθ=,∴sinθcosθ=.∴==sinθ(sinθ+cosθ)×=sinθcosθ=.11.(2020·徐州模拟)已知向量m=(cosx,sinx),n=(sinx,sinx),函数f(x)=m·n.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)若α∈,f=,求sinα的值.[解] ∵向量m=(cosx,sinx),n=(sinx,sinx),∴函数f(x)=m·n=sinxcosx+sin2