第17讲——-线性分组码编码与译码.ppt

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1、线性分组码的编码与译码(1)第十九讲0000010100111001011101110000001001100101101100100011011011011111消息码字码许用码字禁用码字编码效率汉明重量汉明距离最小汉明距离纠检错能力群子群分元陪集0001101100000010011001011011消息码字基本概念0000001001100101101100100011011011011111000010100010011110100010101100101111111000010010

2、111000011001001100111110100111010001101010100011100000111011101010111100分元陪集划分0000010100111001011101110000001001100101101100100011011011011111消息码字码许用码字禁用码字编码效率汉明重量汉明距离最小汉明距离纠检错能力群子群分元陪集域GF(2)上的矢量空间子空间矢量张成的子空间基底维数零化空间矩阵行空间0001101100000010011001011011消

3、息码字GF(2)基本概念线性分组码长度为n，有2k个码字的码组，当且仅当这2k个码字是GF(2)上n维矢量空间的一个k维子空间时，称为(n,k)线性分组码，简称(n,k)码。由于k维子空间是在模2加法下运算的，构成了一个加法交换群，所以线性分组码也称为群码。码率R=k/n，就是传输效率。最小汉明距离dmin等于非零码字的最小重量。系统码n-kkkn-k码字信息位与输入信息序列相同，并且与校验位分开生成矩阵线性分组码是GF(2)上n维空间中的一个k维子空间，因此它可以由k个线性无关n维矢量完全确定

4、。由于这组矢量的所有线性组合给出了码C中的任一个码字，称生成码C。C中任何一组基底所构成的矩阵G称作码C的生成矩阵生成矩阵对于任何一个给定的信息序列，可指定作为相应的码字。G矩阵的每一行都是一个码字矢量，分别对应信息位为(10…0),(010…0)…(00…01)时的码字。生成矩阵(n,k)分组码实际上就是这k个线性无关的码字矢量张成的k维子空间，这k个矢量组成的矩阵就是生成矩阵。确定(n,k)码的生成矩阵的问题实际上就是确定n重矢量空间中k维子空间的k个线性无关的码字矢量的问题，也就是寻找基底

5、的问题。(n,k)码的n重矢量空间中可以有多个k维子空间，产生不同的码组，即有不同的基底。(n,k)码的n-重矢量空间中的一个k维子空间的基底可以有多个，因此可以有不同的生成矩阵G，但都产生相同的码组。基底的线性组合等效于G的行初等变换，可以产生一组新的基底。利用这一点，可使生成矩阵具有如下“系统形式”，称之为典型生成矩阵。典型生成矩阵即：G=[IkQ]，Q为k×r矩阵，Ik为k×k单位阵。非系统码与系统码并无本质区别，它的生成矩阵可以通过行初等变换转变为系统形式，这个过程叫做系统化。系统化并不

6、会改变码集，其纠错能力完全等价。例题设二元（5,3）码，其生成矩阵为将其化为标准形式？一致校验矩阵与任何一个(n,k)码的码空间C相对应，一定存在一个对偶空间D，它的每个矢量都与C中的每个矢量正交，其维数为n-k。事实上，若找出生成空间D的基底（n-k个）用这n-k个矢量同样可以生成包含个码字的(n,n-k)线性分组码，我们称其(n,k)码的对偶码，生成矩阵为一致校验矩阵由对偶空间的定义知，有对任意的即H可以检验一个n重是否为码字，称H为码C的一致校验矩阵。典型一致校验矩阵系统码的一致校验矩阵为

7、即H=[PIr],其中，Ir为r×r单位阵，P为r×k矩阵。一致校验矩阵与生成矩阵之间的关系由于生成矩阵每一行都是一个码字，因此应当满足一致校验矩阵所规定的校验关系，即应当有：GHT=0或者HGT=0因此H与G互为正交矩阵，说明G和H的行空间互为零化空间。一致校验矩阵与生成矩阵之间的关系对于系统码，上式可以写成[IkQ][PIr]T=0得[PT+Q]=0所以PT=Q或者P=QT即P矩阵与Q矩阵互为转置矩阵。对于系统码，已知校验矩阵H就可以确定典型生成矩阵G，反之，已知生成矩阵也就可以确定校验矩阵

8、。例题【例】设二元(7,4)码的生成矩阵为求其一致校验矩阵？【例】设二元(5,3)码，其生成矩阵为求其一致校验矩阵？线性分组码编码线性分组码的编码过程分为两步：把信息序列按一定长度分成若干信息码组，每组由k位组成；编码器按照预定的线性规则，把信息码组变换成n重(n>k)码字。信息码组长k位，有2k个不同的信息码组，则有2k个码字与它们一一对应。一致校验矩阵编码设c=[c0,c1,c2,c3,c4,c5,c6]，其中，[c0,c1,c2,c3]为信息位，[c4,c5,c6]为校验位。由HCT=0可