导数公式的证明(最全版)..doc

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1、……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………导数的定义:f'(ｘ)=lｉｍΔy/Δx   Δx→0（下面就不再标明Δｘ→0了）用定义求导数公式(1）f(x)=x＾ｎ 证法一:（n为自然数)f’(ｘ)=lim[（x+Δx）^n－x^ｎ]/Δx=lim(ｘ+Δx-x)[(x+Δx)^(ｎ—1）+ｘ*（x＋Δx)^(ｎ-2)+.。．+x^（n－２）*(x+Δｘ）+ｘ^(n—1)]/Δｘ14/14……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………＝lｉm[(x+Δ

2、x）＾（ｎ-1)＋x＊(x+Δｘ)^(n-２)+.。.+x＾（n—２）*(x＋Δx)+ｘ^（n—1)]=x^（n—1)+x*x^(n-2)+ｘ＾2*x^(n—3)+　。。．x^（ｎ—2)*x＋ｘ^（n-1）＝nx^（ｎ-1） 证法二:(ｎ为任意实数）ｆ（x)=ｘ＾ｎlnf(x）=nlnｘ(ｌnf（ｘ))’＝(nｌｎx)’f'（x）/f(ｘ）=n/ｘf＇（x）＝n／x*f（x)f'(x）=n／x*ｘ^ｎｆ'（x）=nx^(n—1） （2）f（x)=ｓinx14/14……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………

3、………f＇（x)=lｉm（siｎ(ｘ+Δx)－sinx）/Δｘ=liｍ（sｉnxcosΔx＋coｓｘsiｎΔx—sｉnx）/Δx=ｌｉm　(sｉnx+cｏsxsｉnΔｘ—ｓinx)/Δx=limcosxsinΔx/Δｘ=cosx (3)f(x)=ｃoｓｘf’（ｘ）=lim（cos(x+Δx）－cosx)／Δｘ＝lｉｍ（coｓxｃosΔｘ-siｎxsinΔｘ-cosx）/Δx=ｌｉm　(cosx—sｉnxsinΔｘ-ｃｏｓ）／Δx＝lｉm　—sｉｎｘsinΔｘ/Δx=—sinx 14/14……………………………………………………………最新资料推荐…………

4、………………………………………(4)f(ｘ)=a^x证法一:f’（x)=lim(a＾(ｘ+Δx）-a^x)/Δx=liｍa＾x＊(ａ^Δx—1）/Δｘ（设a^Δx—１=m,则Δx=logａ^（m+1))=ｌim　a^x*ｍ/ｌoga^(m＋1)=lim　a^ｘ*m/[ln（m+1）/lnａ]=ｌｉma＾x＊lna*m/ln（m+1)=lim　a^x＊ｌna/[（1/m）*ln（m+1）]=lima＾x*lna/ln[(m+1)＾(1／m)]＝liｍａ^ｘ＊lna/lne=a＾x＊lｎａ 证法二：14/14……………………………………………………………最

5、新资料推荐…………………………………………………f（x）=a^xlnf(ｘ）=ｘlｎa[ｌnｆ（ｘ）］'＝[xlｎa］’f'(x)/f(x)=lｎａf＇　（x)=f（x)ｌnaf'（x)＝a^ｘｌｎa若a＝e，原函数f(x）=e^x则ｆ’（x）=e^x*lｎｅ=e^x （5)f(ｘ)=loｇａ^xｆ'(x)=liｍ(lｏgａ^（x+Δx）—ｌｏgａ^x）/Δx=liｍ　logａ^[(x+Δx）/x]/Δx＝ｌｉmｌogａ^(1+Δｘ/x）/Δx14/14……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………=l

6、ｉmlｎ（1+Δx/x)/(lna*Δｘ）=ｌim　x*ln（1+Δx/x)/(x＊lna*Δx）=ｌiｍ(ｘ/Δx)*lｎ（1+Δx/ｘ）/（x＊lna)=lｉmln[(１＋Δｘ/x）^（ｘ/Δx）]/(x*lna)=liｍlｎｅ/（x*lna)=１/（ｘ*ｌna） 若a=e，原函数f（ｘ）＝logｅ＾ｘ=lnx则f'（x）=1/(x＊lne）=1/x(6)f（x)=tanxf'(x）=lim（tａn（x+Δx)-ｔaｎx）/Δx=liｍ(sｉn(ｘ+Δx)/cos(x＋Δx）—sｉnx/coｓx)/Δx=lim(sin(x+Δx）cosｘ—ｓinｘ

7、ｃos(x＋Δx)／（Δxｃoｓxcoｓ（x+Δx）)14/14……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………=lim（sinxｃｏsΔxcosｘ+sinΔxcoｓｘcosx-sinxcosｘcosΔx+sinxsinｘｓｉnΔx)/(Δxcosxｃos(x+Δx))=ｌimsinΔx／(Δxcｏsxｃos(x+Δx))＝1/(cosx)＾2=ｓeｃx/cosx=（seｃx）＾２＝1+(ｔaｎx）^２ (7）ｆ(ｘ）=ｃｏtxf＇（ｘ)=lim（cot（ｘ+Δx)—cotx)／Δｘ=lim(ｃos（x＋

8、Δx)/sin（ｘ+Δx)—cosx／ｓinx）／Δx=ｌim(cｏｓ（ｘ+Δx)sｉnx-c