导数公式的证明(基础).doc

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1、导数的定义：f'(x)=limΔy/Δx   用定义求导数公式（1）f(x)=xn 求：f'(x)（2）f(x)=sinx求：f'(x)（3）f(x)=cosx求：f'(x) （4）f(x)=ax求：f'(x) （5）f(x)=logax（6）f(x)=tanxf'(x)=lim(tan(x+Δx)-tanx)/Δx=lim(sin(x+Δx)/cos(x+Δx)-sinx/cosx)/Δx=lim(sin(x+Δx)cosx-sinxcos(x+Δx)/(Δxcosxcos(x+Δx))=lim(sinxcosΔxcosx+sinΔxcosxcosx-sinxcosxcosΔx

2、+sinxsinxsinΔx)/(Δxcosxcos(x+Δx))=limsinΔx/(Δxcosxcos(x+Δx))=1/(cosx)^2=secx/cosx=(secx)^2=1+(tanx)^2 （7）f(x)=cotxf'(x)=lim(cot(x+Δx)-cotx)/Δx=lim(cos(x+Δx)/sin(x+Δx)-cosx/sinx)/Δx=lim(cos(x+Δx)sinx-cosxsin(x+Δx))/(Δxsinxsin(x+Δx))=lim(cosxcosΔxsinx-sinxsinxsinΔx-cosxsinxcosΔx-cosxsinΔxcosx)/

3、(Δxsinxsin(x+Δx))=lim-sinΔx/(Δxsinxsin(x+Δx))=-1/(sinx)^2=-cscx/sinx=-(secx)^2=-1-(cotx)^2 （8）f(x)=secxf'(x)=lim (sec(x+Δx)-secx)/Δx=lim(1/cos(x+Δx)-1/cosx)/Δx=lim(cosx-cos(x+Δx)/(ΔxcosxcosΔx)=lim(cosx-cosxcosΔx+sinxsinΔx)/(Δxcosxcos(x+Δx))=limsinxsinΔx/(Δxcosxcos(x+Δx))=sinx/(cosx)^2=tanx*se

4、cx （9）f(x)=cscxf'(x)=lim (csc(x+Δx)-cscx)/Δx=lim(1/sin(x+Δx)-1/sinx)/Δx=lim(sinx-sin(x+Δx))/(Δxsinxsin(x+Δx))=lim(sinx-sinxcosΔx-sinΔxcosx)/(Δxsinxsin(x+Δx))=lim-sinΔxcosx/(Δxsinxsin(x+Δx))=-cosx/(sinx)^2=-cotx*cscx （10）f(x)=x^xlnf(x)=xlnx(lnf(x))'=(xlnx)'f'(x)/f(x)=lnx+1f'(x)=(lnx+1)*f(x)f'(

5、x)=(lnx+1)*x^x（12）h(x)=f(x)g(x)h'(x)=lim(f(x+Δx)g(x+Δx)-f(x)g(x))/Δx=lim[(f(x+Δx)-f(x)+f(x))*g(x+Δx)+(g(x+Δx)-g(x)-g(x+Δx))*f(x)]/Δx=lim[(f(x+Δx)-f(x))*g(x+Δx)+(g(x+Δx)-g(x))*f(x)+f(x)*g(x+Δx)-f(x)*g(x+Δx)]/Δx=lim(f(x+Δx)-f(x))*g(x+Δx)/Δx+(g(x+Δx)-g(x))*f(x)/Δx=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) （13）h(x)=f(

6、x)/g(x)h'(x)=lim(f(x+Δx)/g(x+Δx)-f(x)g(x))/Δx=lim(f(x+Δx)g(x)-f(x)g(x+Δx))/(Δxg(x)g(x+Δx))=lim[(f(x+Δx)-f(x)+f(x))*g(x)-(g(x+Δx)-g(x)+g(x))*f(x)]/(Δxg(x)g(x+Δx))=lim[(f(x+Δx)-f(x))*g(x)-(g(x+Δx)-g(x))*f(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x)]/(Δxg(x)g(x+Δx))=lim(f(x+Δx)-f(x))*g(x)/(Δxg(x)g(x+Δx))-(g(x+Δx)-g(x)

7、)*f(x)/(Δxg(x)g(x+Δx))=f'(x)g(x)/(g(x)*g(x))-f(x)g'(x)/(g(x)*g(x))=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/(g(x)*g(x))x （14）h(x)=f(g(x))h'(x)=lim[f(g(x+Δx))-f(g(x))]/Δx=lim[f(g(x+Δx)-g(x)+g(x))-f(g(x))]/Δx（另g(x)=u，g(x+Δx)-g(x)=Δu）=lim(f(u+Δu)-f(u))/Δx=lim(f(u+