导数公式的证明(最全版)

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1、导数的定义：f'(x)=limΔy/Δx   Δx→0（下面就不再标明Δx→0了）用定义求导数公式（1）f(x)=x^n 证法一：（n为自然数）f'(x)=lim[(x+Δx)^n-x^n]/Δx=lim(x+Δx-x)[(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)]/Δx=lim[(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)]=x^(n-1)+x*x^(n-2)+x^2*x^(n-3)+...x^(n-2)*x+x^(n-

2、1)=nx^(n-1) 证法二：（n为任意实数）f(x)=x^nlnf(x)=nlnx(lnf(x))'=(nlnx)'f'(x)/f(x)=n/xf'(x)=n/x*f(x)f'(x)=n/x*x^nf'(x)=nx^(n-1) （2）f(x)=sinxf'(x)=lim(sin(x+Δx)-sinx)/Δx=lim(sinxcosΔx+cosxsinΔx-sinx)/Δx=lim(sinx+cosxsinΔx-sinx)/Δx=limcosxsinΔx/Δx=cosx （3）f(x)=cosxf'(x)=lim(cos(x+Δx)-cosx)/Δ

3、x=lim(cosxcosΔx-sinxsinΔx-cosx)/Δx=lim(cosx-sinxsinΔx-cos)/Δx=lim-sinxsinΔx/Δx=-sinx （4）f(x)=a^x证法一：f'(x)=lim(a^(x+Δx)-a^x)/Δx=lima^x*(a^Δx-1)/Δx（设a^Δx-1=m，则Δx=loga^(m+1)）=lima^x*m/loga^(m+1)=lima^x*m/[ln(m+1)/lna]=lima^x*lna*m/ln(m+1)=lima^x*lna/[(1/m)*ln(m+1)]=lima^x*lna/ln[(

4、m+1)^(1/m)]=lima^x*lna/lne=a^x*lna 证法二：f(x)=a^xlnf(x)=xlna[lnf(x)]'=[xlna]'f'(x)/f(x)=lnaf'(x)=f(x)lnaf'(x)=a^xlna若a=e，原函数f(x)=e^x则f'(x)=e^x*lne=e^x （5）f(x)=loga^xf'(x)=lim(loga^(x+Δx)-loga^x)/Δx=limloga^[(x+Δx)/x]/Δx=limloga^(1+Δx/x)/Δx=limln(1+Δx/x)/(lna*Δx)=limx*ln(1+Δx/x)/(

5、x*lna*Δx)=lim(x/Δx)*ln(1+Δx/x)/(x*lna)=limln[(1+Δx/x)^(x/Δx)]/(x*lna)=limlne/(x*lna)=1/(x*lna) 若a=e，原函数f(x)=loge^x=lnx则f'(x)=1/(x*lne)=1/x（6）f(x)=tanxf'(x)=lim(tan(x+Δx)-tanx)/Δx=lim(sin(x+Δx)/cos(x+Δx)-sinx/cosx)/Δx=lim(sin(x+Δx)cosx-sinxcos(x+Δx)/(Δxcosxcos(x+Δx))=lim(sinxcos

6、Δxcosx+sinΔxcosxcosx-sinxcosxcosΔx+sinxsinxsinΔx)/(Δxcosxcos(x+Δx))=limsinΔx/(Δxcosxcos(x+Δx))=1/(cosx)^2=secx/cosx=(secx)^2=1+(tanx)^2 （7）f(x)=cotxf'(x)=lim(cot(x+Δx)-cotx)/Δx=lim(cos(x+Δx)/sin(x+Δx)-cosx/sinx)/Δx=lim(cos(x+Δx)sinx-cosxsin(x+Δx))/(Δxsinxsin(x+Δx))=lim(cosxcosΔ

7、xsinx-sinxsinxsinΔx-cosxsinxcosΔx-cosxsinΔxcosx)/(Δxsinxsin(x+Δx))=lim-sinΔx/(Δxsinxsin(x+Δx))=-1/(sinx)^2=-cscx/sinx=-(secx)^2=-1-(cotx)^2 （8）f(x)=secxf'(x)=lim (sec(x+Δx)-secx)/Δx=lim(1/cos(x+Δx)-1/cosx)/Δx=lim(cosx-cos(x+Δx)/(ΔxcosxcosΔx)=lim(cosx-cosxcosΔx+sinxsinΔx)/(Δxcos

8、xcos(x+Δx))=limsinxsinΔx/(Δxcosxcos(x+Δx))=sinx/(cosx)