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《冲刺2021届新高考数学终极复习之圆锥曲线全揭秘第07讲 向量问题.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第07讲向量问题一、考情分析1.给出,等于已知与的中点三点共线;2.给出以下情形之一：①；②存在实数；③若存在实数,等于已知三点共线；二、经验分享1.三点共线问题证题策略一般有以下几种：①斜率法：若过任意两点的直线的斜率都存在，通过计算证明过任意两点的直线的斜率相等证明三点共线；②距离法：计算出任意两点间的距离，若某两点间的距离等于另外两个距离之和，则这三点共线；③向量法：利用向量共线定理证明三点共线；④直线方程法：求出过其中两点的直线方程，在证明第3点也在该直线上;⑤点到直线的距离法：求出过其中某两点的直线方程，计算出第三点
2、到该直线的距离，若距离为0，则三点共线.⑥面积法：通过计算求出以这三点为三角形的面积，若面积为0，则三点共线，在处理三点共线问题，离不开解析几何的重要思想：“设而不求思想”.2.点与圆的位置关系的解题策略一般有以下几种：（1）利用设而不求思想求出圆心坐标，然后计算圆心到点的距离并和半径比较得解；（2）向量法，通过判断数量积的正负来确定点和圆的位置关系：如已知是圆的直径，是平面内一点，①如果点在圆内；②点在圆外；③点在圆上．（3）方程法，已知圆的方程，点，①如果点在圆内；②点在圆上；③点在圆外.3.四点共圆问题的解题策略：①利用
3、四点构成的四边形的对角互补；②利用待定系数法求出过其中三点的圆的方程，然后证明第四点坐标满足圆的方程.三、题型分析（一）向量法判断定点与圆的位置关系1.点与圆的位置关系的解题策略一般有以下几种：（1）利用设而不求思想求出圆心坐标，然后计算圆心到点的距离并和半径比较得解；（2）向量法，通过判断数量积的正负来确定点和圆的位置关系：如已知是圆的直径，是平面内一点，①如果点在圆内；②点在圆外；③点在圆上．（3）方程法，已知圆的方程，点，①如果点在圆内；②点在圆上；③点在圆外.例1【2015高考福建，理18】已知椭圆E：过点，且离心率为
4、．(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)设直线交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．【解析】解法一：(Ⅰ)由已知得解得，所以椭圆E的方程为．(Ⅱ)设点AB中点为．由所以从而.所以.,故所以，故G在以AB为直径的圆外．【变式训练1】【2018届重庆市第一中学高三12月月考】已知椭圆离心率为,焦距为,抛物线的焦点是椭圆的顶点.（Ⅰ）求与的标准方程；（Ⅱ）设过点的直线交于两点,若的右顶点在以为直径的圆内,求直线的斜率的取值范围.【分析】（Ⅰ）椭圆的焦距为,,得椭圆的标准方程,得到抛物线焦点,可得抛物线方程
5、；（Ⅱ）联立直线与抛物线的方程结合韦达定理得,,在以为直径的圆内,得结果.【解析】（Ⅰ）设椭圆的焦距为,依题意有,,解得,,故椭圆的标准方程为,又抛物线开口向上,故是椭圆的上顶点,,,故抛物线的标准方程为.（Ⅱ）由题意可设直线的方程为：,设点,,联立得,由韦达定理得,.在以为直径的圆内.【变式训练2】已知抛物线C：的焦点为F,直线与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且.（I）求C的方程；（II）过F的直线与C相交于A,B两点,若AB的垂直平分线与C相较于M,N两点,且A,M,B,N四点在同一圆上,求的方程.【解析】（I）设,代入
6、,得．由题设得,解得（舍去）或,∴C的方程为；（II）由题设知与坐标轴不垂直,故可设的方程为,代入得．设则．故的中点为．又的斜率为的方程为．将上式代入,并整理得．设则．故的中点为．由于垂直平分线,故四点在同一圆上等价于,从而即,化简得,解得或．所求直线的方程为或．（二）利用向量转化几何条件例2．如图，已知满足条件（其中为虚数单位）的复数在复平面上的对应点的轨迹为圆（圆心为），定直线的方程为，过斜率为的直线与直线相交于点，与圆相交于两点，是弦中点.（1）若直线经过圆心，求证：与垂直；（2）当时，求直线的方程；（3）设，试问是否为
7、定值？若为定值，请求出的值，若不为定值，请说明理由.【答案】（1）证明见详解；（2）或；（3）为定值且【解析】（1）证明如下：因为，所以，所以圆心，半径；又因为，所以且，所以，所以与垂直；（2）当直线的斜率不存在时，，此时，所以，所以，满足题意；当的斜率存在且为时，，，所以，解得：，此时；综上：直线的方程为或；（3）当直线的斜率不存在时，可知：，所以，所以，即；当直线的斜率存在且为时，设，，联立可得：，所以，，即，所以；又由可得：，所以，故，综上可知：为定值，且.【变式训练1】已知、分别是椭圆的两焦点，点是该椭圆上一动点，则_
8、________.【答案】【解析】由椭圆知，焦点，，设，则，，，故，故答案为：【变式训练2】已知椭圆：的右焦点为点的坐标为，为坐标原点，是等腰直角三角形.（1）求椭圆的方程；（2）经过点作直线交椭圆于两点，求面积的最大值；（3）是否存在直线交椭圆于两点，使点为的垂心（垂心：三
