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《冲刺2021届新高考数学终极复习之圆锥曲线全揭秘第11讲 对称性问题.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第11讲对称性问题一、考情分析通过近几年各地高考试题可以发现,对对称性问题的考查在逐渐加深,并与圆锥曲线相结合在一起命题,成为一个新的动向.与圆相关几何性质、最值问题、轨迹问题等都能与椭圆、双曲线和抛物线想结合可以呈现别具一格的新颖试题.二、经验分享1.对于圆锥曲线的相交的动点问题，设出交点，由交点(或韦达定理)结合条件解决问题，在求解过程中、数形结合是常用的打开思路的方式、形是引路、数是依据、二者联手，解决问题就易如反掌、设面不求、灵活消参是常用的策略。2.中点弦问题（点差法）的呈现有多种形式，处理重直问题最好的方法是应用向量的坐标形式转化，常规的思路是:联立方程组消
2、去成y,得到一个二次方程，设交点，韦达定理代人垂直的数量积坐标公式整理求解。3.涉及弦长要注意圆的几何性质的应用。三、题型分析（一）中点弦问题（点差法）例1．（2020·重庆市广益中学校高二期末）已知椭圆的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A,B两点.若AB的中点坐标为（1，-1），则G的方程为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设，则，两式相减并化简得，即,由于且，由此可解得，故椭圆的方程为.故选：D.【变式训练1】过点作斜率为的直线与椭圆：相交于两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率等于．【答案】【解析】设，则，，两式相减可得，，过点作斜率为的直线与椭圆相交
3、于、两点，是线段的中点，则，即，即，则，故答案为．【变式训练2】（2020·陕西长安一中高三月考（文））设椭圆C：过点（0，4），离心率为.（1）求C的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）将（0，4）代入C的方程得，∴=4，又得，即，∴A=5， ∴C的方程为．（2）过点且斜率为的直线方程为，设直线与C的交点为A，B，将直线方程代入C的方程，得，即，AB的中点坐标，，即中点为．（二）点关于直线对称例2．（2015安徽）设椭圆的方程为点为坐标原点，点的坐标为,点的坐标为）,点在线段上，满足直线的斜率为.（1
4、）求的离心率；（2）设点的坐标为为线段的中点，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）利用，直线的斜率为，列出关于、、的方程组，结合性质，求出、、，即可得结果；（2）通过中点坐标公式解得点坐标，只需证明即可得结论.试题解析：（1）解：由题设条件知，点，又从而.进而，故.（2）证：由是的中点知，点的坐标为，可得.又，从而有由（1）得计算结果可知所以，故.【变式训练1】已知椭圆：的离心率为，点和点都在椭圆上，直线交轴于点．（Ⅰ）求椭圆的方程，并求点的坐标（用，表示）；（Ⅱ）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点．问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标
5、；若不存在，说明理由．【解析】（Ⅰ）由于椭圆：过点且离心率为，，，椭圆的方程为.,直线的方程为：，令，；（Ⅱ），直线的方程为：，直线PB与x轴交于点N，令，则.设,,,则，所以，（注：点在椭圆上，），则，存在点使得.（三）圆锥曲线的光学性质例3.从出发的一条光线经轴反射后经过椭圆的上顶点，以该椭圆的右顶点为圆心，为半径的圆与反射光线没有公共点则的取值范围为_________.【答案】【解析】由题意关于轴对称点为，椭圆上顶点为，直线方程为：，即，到直线的距离为，∴的范围是．故答案为：．【变式训练1】.从出发的一条光线经轴反射后经过椭圆的上顶点，以该椭圆的右顶点为圆心，为半
6、径的圆与反射光线没有公共点则的取值范围为_________.（2020·安徽高二期末（理））椭圆有如下光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一个焦点，已知椭圆长轴长为，焦距为，若一条光线从椭圆的左焦点出发，第一次回到该焦点所经过的路程为，则椭圆的离心率为______.【答案】或或【解析】依据椭圆的光学性质，光线从左焦点出发后，有以下三种可能：对第一种路径：，解得离心率对第二种路径：，解得离心率对第三种路径：，解得离心率故答案为：或或四、迁移应用1．（2020·河南高一期末）若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则的取值范围是（）A．
7、B．C．D．【答案】D【解析】圆的标准方程为,所以圆心为,半径,因为圆上至少有三个不同的点到直线的距离为,所以,所以圆心到直线的距离小于等于,即,解得,故选:D2．（2020·四川省泸县第二中学高二月考（理））若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是A．B．C．D．【答案】C【解析】曲线是以为圆心，为半径的半圆，如图所示直线是过定点的直线．设切线的斜率为，切线的方程为，圆心到直线的距离等于半径，即，解得直线的斜率为，，实数的取值范围是，故答案选3．已知是边长为2的正三角形，点为平面内一点，且，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A
