冲刺2021届新高考数学终极复习之圆锥曲线全揭秘第09讲 图形性质问题.docx

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1、第09讲图形性质问题一、考情分析图形之性质问题解题策略：（1）“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素某性质图形存在，用向量或平面几何知识，转化直线与圆锥曲线交点坐标的函数式，利用设而不求思想，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则某性质图形存在存在；否则，元素某性质图形存在不存在.(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.二、经验分享1、面积问题的解决策略：（1）求三角形的面积需要寻底找高，需要两条线段的长度，为了简化运算，通常优先选择能用坐标直接进行表示的底（或高）（2）面积的拆分：不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和，对于三角形如

2、果底和高不便于计算，则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形2、多个图形面积的关系的转化：关键词“求同存异”，寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化3、面积的最值问题：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，在寻底找高的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算。这样可以使函数解析式较为简单，便于分析三、题型分析（一）面积条件的转化例1.已知、是双曲线：（，）的两个顶点，点是双曲线上异于、的一点，为坐标原点，射线交椭圆：于点，设直线、、、的斜率分别为、、、.（1）若双曲线的渐近线方程是，且过点，求的方程；（

3、2）在（1）的条件下，如果，求△的面积；（3）试问：是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由.【答案】（1）；（2）；（3）定值为0.【解析】（1）双曲线的渐近线方程是设双曲线方程为，将点代入方程，解得的方程为.（2）设化简得到：根据对称性不妨设在第一象限，在上，则代入方程得到（3）设，三点共线【变式训练1】．直线经过，椭圆上两个不同的点A,B关于直线对称.当面积取得最大值（为坐标原点）则直线的方程为_______.【答案】【解析】由题意，设直线的方程为，，，又A,B关于直线对称，可设直线的方程可设为，由，整理得：，则有，，即；所以，记A,B中点为P，则，因为点A,B关于直线对

4、称，所以在直线上，所以，因此，代入整理得：，解得，所以或，又，当且仅当，即，（又，解得，）即时，面积取得最大值，此时直线的方程为：.故答案为：【变式训练2】．【2018天津文19】椭圆的右顶点为，上顶点为。已知椭圆的离心率为，（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于两点，与直线交于点，且点均在第四象限，若的面积是面积的2倍，求的值。【解析】：（1）（2）设【需要的等量关系】，接下来用表示出即可，所以，解得或当时，不符合题意，当时，符合题意，所以（二）角平分线的转化例2.已知是椭圆的左、右焦点，点，则∠的角平分线的斜率为()A.B.C.D.【答案】C【解析】由椭圆，则F1（﹣2，0），F2（

5、2，0），则直线AF1的方程为y=（x+2），即3x﹣4y+6=0，直线AF2的方程为x=2，由点A在椭圆C上的位置得直线l的斜率为正数，设P（x，y）为直线l上一点，则

6、x﹣2

7、，解得2x﹣y﹣1=0或x+2y﹣8=0（斜率为负，舍），∴直线l的方程为2x﹣y﹣1=0，直线的斜率为：2.故答案为：C【变式训练1】．、是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，，过作的角平分线的垂线，垂足为，则的长为（）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】延长交延长线于N,则选A【变式训练2】．设是双曲线的左右焦点，点是右支上异于顶点的任意一点，是的角平分线，过点作的垂线，垂足为，为坐标原点，则的长为（）A.定值

8、B.定值C.定值D.不确定，随点位置变化而变化【答案】A【解析】依题意如图，延长F1Q，交PF2于点T，∵是∠F1PF2的角分线．TF1是的垂线，∴是TF1的中垂线，∴

9、PF1

10、＝

11、PT

12、，∵P为双曲线1上一点，∴

13、PF1

14、﹣

15、PF2

16、＝2a，∴

17、TF2

18、＝2a，在三角形F1F2T中，QO是中位线，∴

19、OQ

20、＝a．故选：A．（三）与弦长有关问题的转化例3.【2018全国1文15】直线与圆交于两点，则=___________【解析】：，圆心坐标为，半径圆心到直线的距离，由勾股定理得【变式训练1】．【2018全国3理16】已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与抛物线交于两点，若，则=_____

21、___.【解析】：用到结论：在抛物线中以焦点弦为直径的圆与准线相切所以，设，根据焦点弦斜率公式可得【变式训练2】．【2018浙江21】如图，已知点P是轴左侧（不含轴）一点，抛物线上存在不同的两点满足的中点均在上。（1）设中点为，证明：垂直于轴；（2）若是半椭圆上的动点，求面积的取值范围。【解析】：（1）设中点满足：中点满足：所以是方程即的两个根，所以，故垂直于轴。（2）由（1）可知所以,因此，因为，所以因此，