备战2021届新高考数学终极复习之思想方法 第2讲 数形结合思想.docx

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1、第2讲　数形结合思想思想概述　数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确．方法一　利用数形结合求解函数与方程、不等式问题利用函数图象可直观研究函数的性质，求解与函数有关的方程、不等式问题．例1　已知函数f(x)＝其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．【思路分析】方程f(x)

2、＝b有三个不同的根→函数y＝f(x)的图象和直线y＝b有三个交点→画函数图象【答案】(3，＋∞)【解析】作出f(x)的图象如图所示，当x>m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2.要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则有4m－m20.又m>0，解得m>3.批注　正确作出两个函数图象是解题关键，直观是本解法的最大优势．例2　当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2

3、1

4、，则当x∈(1,2)时，(x－1)2

5、1

6、c

7、的最大值是(　　)

8、A．1B．2C.D.【思路分析】　求

9、c

10、的最大值→考虑向量a，b，c的几何关系→通过几何意义观察

11、c

12、的最值【答案】C【解析】如图，设＝a，＝b，＝c，则＝a－c，＝b－c.由题意知⊥，∴O，A，C，B四点共圆．∴当OC为圆的直径时，

13、c

14、最大，此时，

15、

16、＝.例4　设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1，1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．【答案】【解析】如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(

17、－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为.应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式—可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离.方法三　几何动态问题中的数形结合对一些几何动态中的代数求解问题，可以结合各个变量的形成过程，找出其中的相互关系求解．例5　已知抛物线的方程为x2＝8y，点F是其焦点，点A(－2,4)，在抛物线上求一点P，使△APF的周长最小，求此时点P的坐标．【思路分析】　△APF的

18、周长最小→结合抛物线定义转化

19、PF

20、＝

21、PQ

22、→结合图形观察三边关系求最值解　因为(－2)2<8×4，所以点A(－2,4)在抛物线x2＝8y的内部，如图，设抛物线的准线为l，过点P作PQ⊥l于点Q，过点A作AB⊥l于点B，连接AQ.则△APF的周长为

23、PF

24、＋

25、PA

26、＋

27、AF

28、＝

29、PQ

30、＋

31、PA

32、＋

33、AF

34、≥

35、AQ

36、＋

37、AF

38、≥

39、AB

40、＋

41、AF

42、，当且仅当P，B，A三点共线时，△APF的周长取得最小值，即

43、AB

44、＋

45、AF

46、.因为A(－2,4)，所以不妨设△APF的周长最小时，点P的坐标为(－2，y0)，代入x2＝8y，得y0＝.故使△APF的周长最小时点P的坐标为.

47、批注　通过定义转化

48、PF

49、＝

50、PQ

51、，利用三角形两边之和大于第三边，两次放缩，图形间的关系是解题关键．几何图形有关的最值问题，若通过代数方法计算则小题大做，计算繁杂，解题时要充分考虑几何关系，充分利用“三角形两边之和大于第三边”、“两点之间线段最短”等几何结论.