数形结合的思想方法(2)---高考题选讲

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1、数形结合的思想方法(2)---高考题选讲数形结合的思想方法(2)---高考题选讲数形结合思想是一种很重要的数学思想，数与形是事物的两个方面，正是基于对数与形的抽象研究才产生了数学这门学科，才能使人们能够从不同侧面认识事物，华罗庚先生说过：“数与形本是两依倚，焉能分作两边飞.数缺形时少直观，形少数时难入微.”  把数量关系的研究转化为图形性质的研究，或者把图形性质的研究转化为数量关系的研究，这种解决问题过程中“数”与“形”相互转化的研究策略，就是数形结合的思想.数形结合思想就是要使抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来. 在使用过程中，由“形”到“数”的

2、转化，往往比较明显，而由“数”到“形”的转化却需要转化的意识，因此，数形结合思想的使用往往偏重于由“数”到“形”的转化. 考试中心对考试大纲的说明中强调：“在高考中，充分利用选择题和填空题的题型特点，为考查数形结合的思想提供了方便，能突出考查考生将复杂的数量关系转化为直观的几何图形问题来解决的意识，而在解答题中，考虑到推理论证的严密性，对数量关系问题的研究仍突出代数的方法而不提倡使用几何的方法，解答题中对数形结合思想的考查以由‘形’到‘数’的转化为主.”  1.注重图形的内涵与拓展，突出对数字直觉能力的考查 【例1】图1有面积关系则由图2有体积关系：_______.   解： 

3、【点评】本题注重考查图形分析能力.思维方式上从平面向空间拓展，面积与体积类比，直观类比与猜想并举.体现了高考题以能力立意考查注重素质的命题原则. 【例2】如图所示，已知椭圆=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若F1，F2，P是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（）.   解：以Ｏ为圆心以ＯＦ1为半径画圆，可知此圆与椭圆无交点，则△Ｆ1Ｆ2P中∠ＰＦ1Ｆ2（或∠ＰＦ2Ｆ1）为直角，如此求出Ｐ点坐标即得yp=±，故选Ｄ. 【点评】本题以作图直观判断为突破口，直觉与逻辑推理互动，化解析几何问题为平面几何问题，化计算为判断，在理性的高度认识问题. 【例３】某城市

4、各类土地租价y（万元）与该地段和市中心的距离x（km）关系如图所示.其中l17数形结合的思想方法(2)---高考题选讲表示商业用地，l2表示工业用地，l3表示居住用地.要使各类用地租金收入最高，应将工业用地划在（　）.     Ａ.与市中心距离分别为3km和5km的圆环型区域上 Ｂ.与市中心距离分别为1km和4km的圆环型区域上 Ｃ.与市中心距离为５km的区域外　　 Ｄ.与市中心距离为5km的区域内         解：由函数y的实际意义知：在区间（１，４）上，即在与市中心距离分别为１km和４km的圆环型区域上，工业用地的租金大于商业用地的租金和居住用地的租金，为了获取最高的租

5、金，因此这个区域应租用给工业，故选B. 【点评】这道题考查的是阅读理解能力，提醒我们在日常的学习中，要注意训练直觉思维，养成整体观察、检索信息、把握问题实质的良好习惯. 2.注重绘图，突出对动手能力和探究性学习的考查 【例４】设奇函数f（x）定义域为［－５，５］，若当x∈［０，５］时，f（x）图象如下图，则不等式f（x）<0的解集是____.          解：由奇函数的图象关于原点对称，完成f（x）在定义域内的图象，再由f（x）<0找出使f（x）图象在x轴下方的区域，从而得到不等式f（x）<0的解集为（-2，0）∪（2，5］.【点评】用数形结合的方法去分析解决问题除了能读

6、图外，还要能画图.绘制图形既是数形结合方法的需要，也是培养我们动手能力的需要.【例５】设集合Ｕ＝｛（x，y）x∈R，y∈R｝，Ａ＝｛（x，y）２x－y+m>0｝，Ｂ＝｛（x，y）x＋y-n≤0｝，那么点Ｐ（２，３）∈Ａ∩（B）的充要条件是（　）. Ａ.m>-1，n<5　　　　Ｂ.m<-1，n<5　　　　 Ｃ.m<-1，n>5　　　　Ｄ.m>-1，n>5   解：先假定点Ｐ（２，３）在直线2x-y+m=0和直线x+y-n=0上，则m=-1，n=5.再确定两个不等式2x-y-1>0和x+y-5>0所共同确定的区域，平移两直线得到答案Ａ.【点评】此题考查了集合、二元一次不等式表示的区

7、域、充要条件等知识.以运动、变化、联系的观点考虑问题，变静态思维方式为动态思维方式，强调辨证思维能力.3.注重对思维的灵活性和创造性的考查【例６】已知点Ｐ是椭圆上的动点，Ｆ1，Ｆ２分别是左、右焦点，Ｏ为原点，则7数形结合的思想方法(2)---高考题选讲的取值范围是（　）.  解：此题的一种解法是：在△ＰＦ1Ｆ２中，根据中线定理得：PF1２+PF2２＝2ＯP２+2F1Ｏ２，再由椭圆定义，得到（PF1-PF２）２＝ＯP２－１６，由2≤ＯP≤2得答案Ｄ.另一种解法是数形结合，根据Ｐ点所处的位置对取