2021届新高考数学精准复习学与练3.4 幂函数与二次函数（精讲原卷版）.docx

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1、专题3.4幂函数与二次函数【考纲要求】1.了解幂函数的概念．掌握幂函数，的图象和性质.2.了解幂函数的变化特征.3．培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理、直观想象、数据分析等核心数学素养.【知识清单】1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.(2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质函数特征性质y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1定义域RRR[0，＋∞){x

2、x∈R，且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y

3、y∈R，且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇2．二

4、次函数(1)二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.(2)二次函数的图象和性质第6页，总6页解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)图象定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域单调性在上单调递减；在上单调递增在上单调递增；在上单调递减对称性函数的图象关于x＝－对称【考点梳理】考点一：幂函数的概念【典例1】已知函数f(x

5、)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m为何值时，f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数.【总结提升】形如y＝xα的函数叫幂函数，这里需有：(1)系数为1，(2)指数为一常数，(3)后面不加任何项．例如y＝3x、y＝xx＋1、y＝x2＋1均不是幂函数，再者注意与指数函数的区别，例如：y＝x2是幂函数，y＝2x是指数函数．【变式探究】有下列函数：①y＝3x2；②y＝x2＋1；③y＝－；④y＝；⑤y＝x；⑥y＝2x.其中，是幂函数的有____(只填序号)．考点二：幂函数的图象【典例2】（2020·四川省高

6、一期末）若四个幂函数，，，在同一坐标系中的部分图象如图，则、、、的大小关系正确的是（）第6页，总6页【典例4】（2019·江西高三期中（文））幂函数y=f(x)的图象经过点(27，13)，则f(18)=()A．1B．2C．3D．4【规律方法】1.函数y＝xα的形式的图象都过点(1,1)．它们的单调性要牢记第一象限的图象特征：当α>0时，第一象限图象是上坡递增；当α＜0时，第一象限图象是下坡递减．然后根据函数的奇偶性确定y轴左侧的增减性即可．2.幂函数y＝xα的形式特点是“幂指数坐在x的肩膀上”，往往利用待定系数法，求幂指数，得到函数解析

7、式，进一步解题.【变式探究】1．（2020·广西壮族自治区南宁三中高二月考（文））函数的图像大致是（）A．B．C．D．2．（2020·上海高一课时练习）如图是幂函数的部分图像,已知取这四个值,则于曲线相对应的依次为()A．B．第6页，总6页C．D．3．（2020·上海高一课时练习）下列四个结论中，正确的是（）A．幂函数的图像过和两点B．幂函数的图像不可能出现在第四象限C．当时，是增函数D．的图像是一条直线考点三：幂函数的性质【典例5】（2020·四川省高三二模（文））已知点（3，28）在函数f（x）＝xn+1的图象上，设，b＝f（lnπ

8、），，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜cB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b【典例6】（2020·江苏省高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时，，则f(-8)的值是____.【典例7】(2018·上海卷)已知α∈.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝.【方法技巧】1.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，既不同底又不同次数的幂函数值比较大小：常找到一个中间值，通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断．准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.2.指数

9、函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定时，要注意讨论底数的不同取值情况.【变式探究】1.（2019·湖北高三高考模拟（理））幂函数f(x)=xm的图象过点(2,4)，且a=m12，b=(13)m，c=-logm3，则a、b、c的大小关系是（）A．a>c>bB．b>c>aC．a>b>cD．c>a>b2．（2019·上海高考模拟）设α∈13,12,-1,-2,3，若fx=xα为偶函数，则α=______．3．（2020·内蒙古自治区集宁一中高二月考（文））已知函数是幂函数，且在上单调递增，则实数_____

10、___.第6页，总6页考点四：幂函数综合问题【典例8】（2020·天津高考真题）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【典例9】（2020·上海高一课时练习）已知幂函数的图像满足，当