2021届新高考数学精准复习学与练3.5 指数与指数函数（精讲解析版）.docx

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1、专题3.5指数与指数函数【考纲要求】1.了解指数幂的含义，掌握有理指数幂的运算。2．理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用.3.了解指数函数的变化特征.4．本节涉及所有的数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等.【知识清单】1．根式和分数指数幂1．n次方根定义一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的__n次方根__，其中n＞1，且n∈N*个数n是奇数a＞0x＞0x仅有一个值，记为a＜0x＜0n是偶数a＞0x有两个值，且互为相反数，记为±a＜0x不存在2.根式(1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.(2)性质：①()n＝a.②＝

2、3.分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.2．指数函数的图象和性质(1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是变量，函数的定义域是R，a是底数.(2)指数函数的图象与性质a>100

3、时，y>1；当x<0时，01；当x>0时，0

4、3+232=32-1=12．【规律方法】第13页，总13页化简原则：①化根式为分数指数幂；②化负指数幂为正指数幂；③化小数为分数；④注意运算的先后顺序．【变式探究】1.计算：1.5－×0＋80.25×＋(×)6－【答案】【解析】原式＝.2.计算：×0＋×－＝________.【答案】【解析】原式＝×1＋×－.【易错提醒】1.根式：（1）任何实数均有奇次方根，仅有非负数才有偶次方根，负数没有偶次方根．（2）＝0(n＞1，且n∈N*)．（3）有限制条件的根式化简的步骤2.有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算．3.把根式化成分数指数幂的形式时，不要轻易对进行约分，否则

5、，有时会改变a的取值范围而导致出错，如，a∈R，化成分数指数幂应为a，a∈R，而a＝，则有a≥0，所以化简时，必须先确定a的取值范围．4.结果要求：①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂的形式表示；③结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂．考点二：根式、指数幂的条件求值【典例3】已知x+x-1=3 ，则x32+x-32的值为__________．第13页，总13页【答案】25【解析】题意(x12+x-12)2=x+2+x-1=5，∴x12+x-12=5，∴x32+x-32=(x12+x-12)(x-1+x-1

6、)=5(3-1)=25，故答案为25．【典例4】已知，求下列各式的值.（1）；（2）；（3）【答案】【解析】（1）将两边平方得，所以.（2）将两边平方得，所以.（3）由（1）（2）可得【总结提升】根式、指数幂的条件求值，是代数式求值问题的常见题型，一般步骤是：(1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的形式和特点；(2)化简：①化简已知条件；②化简所求代数式；（3）求值：往往通过整体代入，简化解题过程.如本题求值问题实质上考查整体思想，考查完全平方公式、立方和（差）公式的应用，如(x12+x-12)2=x+2+x-1，(x+x-1)2=x2+2+x-2，x32+x-32=(x12+x-

7、12)(x-1+x-1)，解题时要善于应用公式变形．【变式探究】设，求的值．【答案】7【解析】,.第13页，总13页考点三：指数函数的概念【典例5】若y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有(　　)A．a＝1或2B．a＝1C．a＝2D．a>0且a≠1【答案】C【解析】由题意，得，解得a＝2，故选C.【规律方法】判断一个函数是否是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a＞0，a≠1)这一结构形式．【变式探究】若函数y＝(m－2)