微积分 高等数学 英文练习题以及答案(2)

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1、Xi’anJiaotong-LiverpoolUniversitySubgroupNameIDNo.21Exercise2-1ConceptofDerivative1.Themotionofanobjectalongthe-axisfollowsthelaw(m).Find:(1)theaveragespeedoftheobjectduringthetimeintervalfromthe1stsecondtothe2ndsecond;解：(m/sec)(2)theInstantaneousvelocityoftheob

2、jectatthe2ndsecond.解：；所以(m/sec)2.Comparethefollowinglimitswiththedefinitionofthederivativeandthenpointouttherelationbetweenand.(Assumethatexists)(1)；解：(2)解：(3).(Hint:)解：3.Find,ifand.解：4.Findderivativesofthefollowingfunctionsbyusingthederivativeformulaofpowerfunc

3、tions:(1)；解：，所以(2)；解：，所以(3)解：，所以5.Taketwopointswiththeabscissaandontheparabolaanddrawasecantlinethroughthetwopoints.Findthepointontheparabolaatwhichthetangentlinetothecurveisparalleltothissecantline.解：当时，；当时，。从而割线的斜率为；抛物线在任意一点处的切线斜率为，若切线与割线平行，则，解得，对应的函数值为，即点为所求。

4、6.Findtheequationofthetangentandthenormalrespectivelytothecurveatthepoint.解：曲线在点的切线斜率为，从而法线斜率为。所以切线方程为：法线方程为：7.Prove:Theareaoftheregionboundedbythetangentatanypointofthehyperbolaandthetwoaxesequals.证明：设为曲线上任意一点，则。由得，切线方程：，切线在两个坐标轴上的截距为，故切线与坐标轴所围三角形的面积为，即是一个常数。Xi

5、’anJiaotong-LiverpoolUniversitySubgroupNameIDNo.21Exercise2-2DifferentiationRules(I)1.Findthederivativesofthefollowingfunctions:(1)；解：(2)；解：(3)；解：(4)；解：(5)；解：(6)；解：(7)；解：(8)；解：或则(9)；解：(10).解：2.Findthederivativesofthefollowingfunctionsatgivenpoints:(1).Findand；解：

6、，所以(2).Find；解：所以3.Writetheequationofthetangenttothecurveatthepointwherethecurvecrossestheaxis.解：，曲线与轴的交点为，从而有，。所以曲线在点处的切线方程为，即；所以曲线在点处的切线方程为，即。Xi’anJiaotong-LiverpoolUniversitySubgroupNameIDNo.21Exercise2-2DifferentiationRules(II)1.Findthederivativesofthefollowi

7、ngfunctions:(1)；解：(2)；解：(3)；解：(4)；解：(5)；解：(6)；解：(7)；解：(8)；解：(9)；解：(10)；解：2.Assumethatisdifferentiablein.Prove:Ifisanevenfunction,thenisanoddfunction;ifisanoddfunction,thenisanevenfunction.证明：设是偶函数，即，对等式两边同时求导得，也就是是奇函数；设设是奇函数，即，对等式两边同时求导得，也就是是偶函数；法二：设是偶函数，即，由导数的定

8、义得也就是是奇函数；同理可证题目的下半部分。3．Findtheequationsofthetangentandnormalrespectivelytothecurveatthepointcorrespondingto解：由1(8)的结果知，当时曲线在处的切线方程为：；法线方程为：Xi’anJiaotong-LiverpoolUni