高等数学微积分习题册上册答案

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1、学院姓名学号日期1.2数列的极限一、根据数列极限的定义证明下列极限：n(−1)（1）lim=0；2n→∞nn(1)−11证明：对任意ε，解不等式

2、0−=<→>

3、εn22nnεnn1(1)−(−1)取N=[]，当n>N时

4、−<0

5、ε，所以lim=022εnn→∞n2n−32（2）lim=；n→∞5n+15232n−1711证明：对任意ε，解不等式

6、

7、−=<<ε→n>5155nn++(51)nε1232n−2n−32取N=[]，当n>N时

8、

9、−<ε，所以lim=。ε515n+n→∞5n+15（3）lim(n+1−n)=0；n

10、→∞111证明：对任意ε，解不等式

11、10nn+−−=

12、<<→>εn2nn++1nε1取N=[]，当n>N时

13、nn+−−<10

14、ε，所以lim(n+1−n)=0。2εn→∞sinn（4）lim=0.n→∞nsinn11证明：对任意ε，解不等式

15、0−

16、<<→>εnnnε1sinnsinn取N=[]，当n>N时

17、−<0

18、ε，所以lim=0。εnn→∞n二、设{x}为一数列，n（1）证明：若limx=a，则lim

19、x

20、=

21、a

22、；nnn→∞n→∞（2）问：(1)的逆命题“若lim

23、x

24、=

25、a

26、，则limx=a”是否成立？若成立，证

27、明之；nnn→∞n→∞若不成立，举出反例.四川大学数学学院高等数学教研室编1学院姓名学号日期1.2数列的极限证明：（1）根据limx=a,对任意ε，存在N>0,当n>N时

28、

29、xa−<ε.nnn→∞由于

30、

31、xaxa

32、

33、

34、

35、

36、−<−<

37、ε，所以lim

38、x

39、=

40、a

41、。nnnn→∞nn（2）不成立。例如lim

42、(1)−=

43、1,lim(1)−不存在。nn→∞→∞三、判断下列命题的正误：（1）若数列{x}和{y}都收敛，则数列{x+y}必收敛.（√）nnnn（2）若数列{x}和{y}都发散，则数列{x+y}必发散.（×）nnnn（3

44、）若数列{x}收敛，而数列{y}发散，则数列{x+y}必发散.（√）nnnn四、证明：对任一数列{x}，若limx=a且limx=a，则limx=a.n2k−12knk→∞k→∞n→∞证明：根据limx2k−1=a,对任意ε，存在N1>0,当k>N1时

45、

46、xa21k−−<ε;k→∞根据limxa2k=,存在N2>0,当k>N2时

47、

48、xa2k−<ε.k→∞取NN=+2max(1,N2)1，当n>N时

49、

50、xa−<ε，所以limx=a。nnn→∞四川大学数学学院高等数学教研室编2学院姓名学号日期1.3函数的极限一、根据函数极限

51、的定义证明下列极限：（1）lim(5x+2)=12；x→2ε证明：对任意ε>0，解不等式

52、521xxx+−=−<→−<2

53、5

54、2

55、

56、ε2

57、5ε取δ=，当0<−<

58、x2

59、δ,

60、521x+−<2

61、ε，所以lim(5x+2)=12。5x→22（2）limx=4；x→22证明：对任意ε>0，(

62、x−<2

63、1)解不等式

64、xx−4

65、

66、<−<2

67、ε22取δ=min(1,)ε，当0<−<

68、x2

69、δ,

70、x−4

71、<ε，所以limx=4。x→22x−4（3）lim=−4.x→−2x+22x−4证明：对任意ε>0，解不等式

72、+4

73、

74、=+

75、

76、εx+222x−4x−4取δ=ε，当0<+<

77、x2

78、δ,

79、+4

80、<ε，所以lim=−4。x+2x→−2x+2二、证明lim(4x−1)=11，并求正数δ，使得当

81、x−3

82、<δ时，就有

83、(4x−1)−11

84、<0.001.x→3ε证明：对任意ε，解不等式

85、411xxx−−=−<⇒−<1

86、4

87、3

88、

89、ε3

90、4ε取δ=，当0<−<

91、x3

92、δ,

93、411x−−<1

94、ε，所以lim(4x−1)=11。4x→3当ε=0.0001，δ=0.000025三、根据函数极限的定义证明下列极限.1（1）lim=0；2x→∞x111证明：对任意ε>0

95、，解不等式

96、−0

97、

98、=<→>εx

99、22xxε四川大学数学学院高等数学教研室编3学院姓名学号日期1.3函数的极限111取X=，当

100、

101、x>X,

102、−<0

103、ε，所以lim=0。22εxx→∞xcosx（2）lim=0；x→+∞xcosx11证明：对任意ε>0，解不等式

104、0−≤

105、<→>εx2xxε1cosxcosx取X=，当xX>,

106、−<0

107、ε，所以lim=0。2εxx→+∞x2x1（3）lim=.2x→∞2x+122x1111证明：对任意ε>0，解不等式

108、

109、−=<<→>εx2222122xx++(21)xε221x1x1取X=，

110、当

111、

112、xX>,

113、

114、−<ε，所以lim=。22ε212x+x→∞2x+12xx四、证明lim=1，并求正数X，使得当x>X时，就有

115、−1

116、<0.01.x→+∞x−1x−1x111证明：对任意ε>0(x>2)，解不等式

117、1−=

118、<<→>εx2xx−−11xε1xx取X=，当x>X,

119、−<1

120、ε，所以lim=1。2εx−1