上海交大数值分析课件数值分析5-5

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1、一、矩阵的条件数第五章解线性方程组的直接法§5误差分析二、误差分析一、矩阵的条件数1.方程组的性态一个实际问题化为数学问题，初始数据往往会有误差，即有扰动，从而使计算结果产生误差，因此需要研究扰动对解的影响。容易看出的精确解为而方程组的精确解为微小差别相差很大定义：当一个方程组，由于系数矩阵A或右端常数项b的微小变化，引起方程组Ax=b解的巨大变化，则称此方程组为“病态”方程组，矩阵A称为“病态”矩阵，否则称方程组为“良态”方程组，A为“良态”矩阵.???那么性态和什么有关呢？如何刻划“病态”的程度呢？假设：方程组为

2、Ax=b，其中A非奇异，x为精确解.2.方程组b的微小误差对解的影响现设A是精确的，b有误差δb，解为x+δx，则所以故又因为可得即则有(b≠0)定理：设A是非奇异阵，Ax=b≠0，且则注：本定理给出了解的相对误差的上界，常数项b的相对误差在解中可能放大

3、

4、A-1

5、

6、

7、

8、A

9、

10、倍。即定理：设A是非奇异阵，Ax=b≠0，且若

11、

12、A-1

13、

14、

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16、δA

17、

18、<1，则注：本定理给出了解的相对误差的上界，系数矩阵A的相对误差的传播与

19、

20、A-1

21、

22、

23、

24、A

25、

26、有关。4.矩阵的条件数定义：设A为非奇异阵，称cond(A)v=

27、

28、A-1

29、

30、

31、v

32、

33、A

34、

35、v(v=1,2,∞)为矩阵A的条件数注：(1)矩阵的条件数与范数有关.(2)当引入矩阵A的条件数后，系数误差对解的影响可重新写为：则系数矩阵A的条件数刻划了方程组的“病态”程度。条件数愈大，方程组的“病态”程度愈大，也就愈难得到方程组的比较准确的解；当矩阵A的条件数相对地小，则方程组是“良态”的。例1：考察的性态.解：方程组的系数矩阵为于是则条件数很大，所以方程组是“病态”的例2：已知Hilbert矩阵如下，计算H3和H6的条件数.解：故

36、

37、H3

38、

39、∞=11/6，

40、

41、H3

42、∞=408，所以Cond(H3

43、)∞=748，同理可得Cond(H6)∞=2.9×106一般Hn矩阵当n愈大，“病态”愈严重例3：考虑方程组H3x=(11/6,13/12,47/60)T=b,（*1）简记为(H3+δH3)(x+δx)=b+δb设H3及b有微小误差（取3位有效数字）有（*2）???那么方程组(*1)与(*2)的解相差多少呢？方程组（*1）与（*2）的精确解为x=(1,1,1)Tx+δx=(1.089512538,0.487967062,1.491002798)T于是这就是说H3与b相对误差不超过0.3%，而引起解的相对误差超过50%

44、！二、误差分析设x*为方程组Ax=b的近似解，检验精度的一个简单方法是将x*代入方程组求得剩余向量(余量)r=b－Ax*，那么是否可以认为???如果

45、

46、r

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48、很小，则解x*比较准确。定理：设A是非奇异矩阵，x和x*分别是方程组Ax=b的准确解和近似解，r=b-Ax*，则证明:(请同学们自学！)思考题答案：对非病态方程组，可以认为

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50、r

51、

52、很小，误差就很小，但对病态方程组，从定理可看出，当病态严重时，即使余量很小，解的相对误差仍可能很大!例如方程组的准确解为x1=2，x2=0。若以x1=1，x2=1作为近似解，其余量为

53、r=(2,2)T－(2,2.00001)T=(0,-0.00001)T很小，但解的误差x－x*=(2,0)T－(1,1)T=(1,-1)T却不小！作业：习题18，19