上海交大数值分析课件数值分析2-4(埃尔米特插值)

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1、复习前面我们已经学过两种插值方法，：Langrange插值法和Newton插值法。共同点1）插值条件相同，即xix0x1…xnyi=f(xi)y0y1…yn2）求一个次数不超过n的代数多项式不同点构造方法（思想）不同Langrange插值法采用基函数的思想Newton插值法采用承袭性的思想注：两种方法的结果相同（唯一性）2.4埃尔米特插值一、埃尔米特插值多项式二、两种简单情形三、例题一、Hermite插值多项式的定义插值条件中除函数值插值条件外，还有导数值插值条件，即已知：2n+2个条件xix0x1…xnyi=f(xi)y0y1……yn求:一个次

2、数不超过2n+1的多项式H2n+1(x)二、两种简单情形情形1.已知：3个条件xi01yi=f(xi)y0y1求:一个次数不超过2的多项式H2(x)解：用基函数的方法，设则可求得:其中是基函数，满足（1）都是2次多项式；（2）开关性插值余项为:情形2.已知：4个条件xix0x1yi=f(xi)y0y1求:一个次数不超过3的多项式H3(x)注意用基函数的方法插值余项为:已知：2n+2个条件则对于一般情况：xix0x1…xnyi=f(xi)y0y1……yn求:一个次数不超过2n+1的多项式H2n+1(x)则可以设：其中：插值余项为：三、例题例1：给定

3、如下数据表，求次数不高于3次的代数插值多项式。xi01f(xi)0011解：本题利用承袭性的思想首先利用：xi01f(xi)01求出：L1(x)增加：00xi01f(xi)001再增加：11xi01f(xi)0011例2：给定如下数据表，求次数不高于3次的代数插值多项式。xi012f(xi)0001例3：给定如下数据表，求次数不高于4次的代数插值多项式。xi0123f(xi)01203例4：给定如下数据表，求次数不高于5次的代数多项式。xi-1012f(xi)10114160.115解：先构造插值于四个函数值的插值多项式用Newton插值法可得：

4、再构造插值于两个导数值的插值多项式解出系数例5：给定如下数据表，求次数不高于3次的代数多项式。xix0x1f(xi)f(x0)f(x1)提示例6：给定如下数据表，求首项系数为1的4次的代数多项式。xiabf(xi)0000提示xiabf(xi)0000进一步讨论第2列中的“0”上移和下移情况下如何求解？Hermite插值的方法：基函数方法承袭性方法注意：当给出某个点处的函数值及其各阶导数时，可利用泰勒插值。待定系数法本学期不能用！作业：习题13,14，15，16